係数 x 4 227 の 15 乗根。係数を使用して不等式を解く

学生にとって最も難しいトピックの 1 つは、係数記号の下にある変数を含む方程式を解くことです。まずはこれが何に関係しているのか考えてみましょう。たとえば、ほとんどの子供たちは二次方程式をナッツのように解けるのに、モジュールのような複雑とは程遠い概念については非常に多くの問題を抱えているのはなぜでしょうか?

私の意見では、これらすべての困難は、係数を使用して方程式を解くための明確に定式化されたルールが欠如していることに関連しています。したがって、二次方程式を解くとき、生徒は最初に判別式を適用し、次に二次方程式の根の公式を適用する必要があることを確実に理解しています。方程式内に係数が見つかった場合はどうすればよいでしょうか? 方程式に係数記号の下に未知数が含まれている場合に必要なアクションプランを明確に説明するように努めます。それぞれのケースについていくつかの例を示します。

でもまず、思い出してみましょう モジュール定義。したがって、数値の剰余あるこの番号自体は次の場合に呼び出されます。ある非ネガティブかつ -a、数値の場合あるゼロ未満。次のように書くことができます:

|a| a ≥ 0 かつ |a| の場合 = a = -a の場合< 0

モジュールの幾何学的意味について言えば、各実数は数値軸上の特定の点に対応することを覚えておく必要があります。座標。したがって、数値のモジュールまたは絶対値は、この点から数値軸の原点までの距離です。距離は常に正の数として指定されます。したがって、負の数の法は正の数になります。ところで、この段階でも多くの学生は混乱し始めます。モジュールには任意の数値を含めることができますが、モジュールを使用した結果は常に正の数値になります。

それでは、方程式を解く作業に直接移りましょう。

1. |x| の形式の方程式を考えてみましょう。 = c、c は実数です。この方程式は、係数の定義を使用して解くことができます。

すべての実数を 3 つのグループに分けます。ゼロより大きいもの、ゼロ未満のもの、そして 3 番目のグループは数値 0 です。解を図の形式で書きます。

(±c、c > 0 の場合

|x| の場合 = c の場合、x = (0、c = 0 の場合

(ある場合は根がありません)< 0

1) |x| = 5、なぜなら 5 > 0 の場合、x = ±5。

2) |x| = -5、なぜなら -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0 の場合、x = 0 になります。

2. |f(x)| の形式の方程式 = b、b > 0。この方程式を解くには、モジュールを取り除く必要があります。 f(x) = b または f(x) = -b のようにします。次に、結果として得られる方程式をそれぞれ個別に解く必要があります。元の式 b の場合< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4、なぜなら 4 > 0 の場合

x + 2 = 4 または x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11、なぜなら 11 > 0 の場合

x 2 – 5 = 11 または x 2 – 5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

x = ± 4 根なし

3) |x 2 – 5x| = -8、なぜなら -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| の形式の方程式 = g(x)。モジュールの意味によれば、そのような方程式は、その右辺がゼロ以上である場合、つまり次の場合に解を持ちます。 g(x) ≥ 0。すると、次のようになります。

f(x) = g(x)または f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10。5x – 10 ≥ 0 の場合、この方程式には根があります。ここから、このような方程式の解が始まります。

1.O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. 解決策:

2x – 1 = 5x – 10 または 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Zを組み合わせます。そしてその解決策は次のようになります。

ルート x = 11/7 は O.D.Z. に適合せず、2 未満ですが、x = 3 はこの条件を満たします。

答え: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 。

1.O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0。区間法を使用してこの不等式を解いてみましょう。

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. 解決策:

x – 1 = 1 – x 2 または x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 または x = 1 x = 0 または x = 1

3. ソリューションと O.D.Z. を組み合わせます。

ルート x = 1 および x = 0 のみが適切です。

答え: x = 0、x = 1。

4. |f(x)| の形式の方程式 = |g(x)|。このような方程式は、次の 2 つの方程式 f(x) = g(x) または f(x) = -g(x) と等価です。

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|。この式は次の 2 つの式と等価です。

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 または x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 または x = 4 x = 2 または x = 1

答え: x = 1、x = 2、x = 3、x = 4。

5. 置換法（変数置換）で方程式を解く。この解決方法は、具体的な例で説明するのが最も簡単です。そこで、係数を伴う二次方程式を与えてみましょう。

x 2 – 6|x| + 5 = 0。係数プロパティによる x 2 = |x| 2 なので、方程式は次のように書き換えられます。

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0。 |x| を置き換えてみましょう。 = t ≥ 0 の場合、次のようになります。

t 2 – 6t + 5 = 0。この方程式を解くと、t = 1 または t = 5 であることがわかります。置換に戻りましょう。

|x| = 1 または |x| = 5

x = ±1 x = ±5

答え: x = -5、x = -1、x = 1、x = 5。

別の例を見てみましょう。

x 2 + |x| – 2 = 0。係数プロパティによる x 2 = |x| 2 したがって、

|x| 2 + |x| – 2 = 0。 |x| を置き換えてみましょう。 = t ≥ 0 の場合、次のようになります。

t 2 + t – 2 = 0。この方程式を解くと、t = -2 または t = 1 が得られます。置換に戻りましょう。

|x| = -2 または |x| = 1

根なし x = ± 1

答え: x = -1、x = 1。

6. 別のタイプの方程式は、「複素」係数をもつ方程式です。このような方程式には、「モジュール内にモジュール」を含む方程式が含まれます。このタイプの方程式は、モジュールのプロパティを使用して解くことができます。

1) |3 – |x|| = 4. 2 番目のタイプの方程式と同じように動作します。なぜなら 4 > 0 の場合、次の 2 つの方程式が得られます。

3 – |x| = 4 または 3 – |x| = -4。

ここで、各方程式で法 x を表し、|x| を表しましょう。 = -1 または |x| = 7。

結果として得られる方程式をそれぞれ解きます。最初の方程式には根がありません。 -1< 0, а во втором x = ±7.

x = -7、x = 7 と答えてください。

2) |3 + |x + 1|| = 5. この方程式を同様の方法で解きます。

3 + |x + 1| = 5 または 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 または x + 1 = -2。根が無い。

答え: x = -3、x = 1。

係数を使用して方程式を解くための普遍的な方法もあります。これがインターバル法です。しかし、それについては後で見てみましょう。

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数の絶対値 ある原点から点までの距離ですあ(ある) .

この定義を理解するために、変数を次のように置き換えてみましょう。ある任意の数値、たとえば 3 を指定して、もう一度読みます。

数値 3 の係数は、原点から点までの距離です。あ(3 ).

つまり、モジュールは通常の距離にすぎません。原点から点までの距離を調べてみましょうあ(3)

原点から点までの距離あ(3) は 3 (3 単位または 3 ステップ) です。

数値のモジュールは 2 本の垂直線で示されます。例:

数値 3 の法は次のように表されます: |3|

数値 4 の法は次のように表されます: |4|

数値 5 の係数は次のように表されます: |5|

数値 3 の係数を調べたところ、3 に等しいことがわかりました。そこで、それを書き留めます。

|3| = 3

のように読みます 「数 3 の法は 3 です」

ここで、数値 −3 の法を求めてみましょう。もう一度、定義に戻り、そこに数値 -3 を代入します。ドットの代わりにのみあ新しいポイントを使う B。終点あ最初の例ですでに使用しました。

数値 -3 の法は、原点から点までの距離です。 B(−3 ).

ある点から別の点までの距離を負にすることはできません。係数も距離であるため、負の値にすることはできません。

数値 -3 の法は 3 です。原点から点までの距離 B(−3) は 3 単位に相当します。

|−3| = 3

のように読みます 「マイナス 3 の法は 3 です。」

座標 0 の点は原点と一致するため、数値 0 の法は 0 に等しくなります。つまり、原点から点までの距離です。 ○(0) はゼロに等しい:

|0| = 0

「ゼロの係数はゼロです」

結論を導き出しましょう:

数値の係数を負にすることはできません。
正の数とゼロの場合、法はその数値自体に等しく、負の数の場合は反対の数です。
反対の数には等しいモジュールがあります。

反対の数字

符号だけが異なる数字をこう呼ぶ反対.

たとえば、-2 と 2 は反対の数字です。それらは符号のみが異なります。数値 -2 にはマイナス記号があり、数値 2 にはプラス記号が付いていますが、前述したようにプラスは書き留められていないため、表示されません。

反対の数のその他の例:

−1と1

−3と3

−5と5

−9と9

反対の数には等しいモジュールがあります。たとえば、数値 −3 と 3 の係数を求めてみましょう。

|−3| および |3|

3 = 3

図は、原点から点までの距離を示しています。あ(−3) と B(3) は 2 つのステップに等しくなります。

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|a| a ≥ 0 かつ |a| の場合 = a = -a の場合< 0

それでは、方程式を解く作業に直接移りましょう。

1. |x| の形式の方程式を考えてみましょう。 = c、c は実数です。この方程式は、係数の定義を使用して解くことができます。

(±c、c > 0 の場合

|x| の場合 = c の場合、x = (0、c = 0 の場合

(ある場合は根がありません)< 0

1) |x| = 5、なぜなら 5 > 0 の場合、x = ±5。

2) |x| = -5、なぜなら -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0 の場合、x = 0 になります。

1) |x + 2| = 4、なぜなら 4 > 0 の場合

x + 2 = 4 または x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11、なぜなら 11 > 0 の場合

x 2 – 5 = 11 または x 2 – 5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

x = ± 4 根なし

3) |x 2 – 5x| = -8、なぜなら -8< 0, то уравнение не имеет корней.

f(x) = g(x)または f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10。5x – 10 ≥ 0 の場合、この方程式には根があります。ここから、このような方程式の解が始まります。

1.O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. 解決策:

2x – 1 = 5x – 10 または 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Zを組み合わせます。そしてその解決策は次のようになります。

ルート x = 11/7 は O.D.Z. に適合せず、2 未満ですが、x = 3 はこの条件を満たします。

答え: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 。

1.O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0。区間法を使用してこの不等式を解いてみましょう。

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. 解決策:

x – 1 = 1 – x 2 または x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 または x = 1 x = 0 または x = 1

3. ソリューションと O.D.Z. を組み合わせます。

ルート x = 1 および x = 0 のみが適切です。

答え: x = 0、x = 1。

4. |f(x)| の形式の方程式 = |g(x)|。このような方程式は、次の 2 つの方程式 f(x) = g(x) または f(x) = -g(x) と等価です。

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|。この式は次の 2 つの式と等価です。

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 または x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 または x = 4 x = 2 または x = 1

答え: x = 1、x = 2、x = 3、x = 4。

x 2 – 6|x| + 5 = 0。係数プロパティによる x 2 = |x| 2 なので、方程式は次のように書き換えられます。

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0。 |x| を置き換えてみましょう。 = t ≥ 0 の場合、次のようになります。

t 2 – 6t + 5 = 0。この方程式を解くと、t = 1 または t = 5 であることがわかります。置換に戻りましょう。

|x| = 1 または |x| = 5

x = ±1 x = ±5

答え: x = -5、x = -1、x = 1、x = 5。

別の例を見てみましょう。

x 2 + |x| – 2 = 0。係数プロパティによる x 2 = |x| 2 したがって、

|x| 2 + |x| – 2 = 0。 |x| を置き換えてみましょう。 = t ≥ 0 の場合、次のようになります。

t 2 + t – 2 = 0。この方程式を解くと、t = -2 または t = 1 が得られます。置換に戻りましょう。

|x| = -2 または |x| = 1

根なし x = ± 1

答え: x = -1、x = 1。

1) |3 – |x|| = 4. 2 番目のタイプの方程式と同じように動作します。なぜなら 4 > 0 の場合、次の 2 つの方程式が得られます。

3 – |x| = 4 または 3 – |x| = -4。

ここで、各方程式で法 x を表し、|x| を表しましょう。 = -1 または |x| = 7。

結果として得られる方程式をそれぞれ解きます。最初の方程式には根がありません。 -1< 0, а во втором x = ±7.

x = -7、x = 7 と答えてください。

2) |3 + |x + 1|| = 5. この方程式を同様の方法で解きます。

3 + |x + 1| = 5 または 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 または x + 1 = -2。根が無い。

答え: x = -3、x = 1。

係数を使用して方程式を解くための普遍的な方法もあります。これがインターバル法です。しかし、それについては後で見てみましょう。

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モジュールは誰もが聞いたことがあるものの 1 つですが、実際には誰もよく理解していません。したがって、今日はモジュールを使用して方程式を解くことに特化した大きなレッスンが行われます。

すぐに言いますが、レッスンは難しくありません。そして一般に、モジュールは比較的単純なトピックです。「はい、もちろん難しいことはありません！びっくりしました！」 - 多くの学生はこう言いますが、これらすべての脳の故障は、ほとんどの人が頭の中に知識を持っているのではなく、ある種のがらくたを持っているという事実によって発生します。このレッスンの目標は、くだらないことを知識に変えることです。:)

ちょっとした理論

じゃ、行こう。最も重要なことから始めましょう: モジュールとは何ですか? 数値の法は単に同じ数値ですが、マイナス記号なしで取得されることを思い出してください。つまり、たとえば $\left| です。 -5 \right|=5$。または $\left| -129.5 \right|=$129.5。

そんなに簡単ですか？はい、シンプルです。では、正の数の絶対値は何でしょうか? ここではさらに単純です。正の数の法はこの数値自体に等しいです: $\left| 5 \right|=5$; $\左| 129.5 \right|=$129.5 など

興味深いことが判明しました。異なる番号でも同じモジュールを使用できるのです。例: $\left| -5 \右|=\左| 5 \right|=5$; $\左| -129.5 \右|=\左| 129.5\right|=$129.5。これらがどのような種類の数値であるかは簡単にわかります。そのモジュールは同じです。これらの数値は反対です。したがって、反対の数のモジュールが等しいことに注意してください。

\[\左| -a \右|=\左| a\右|\]

もう一つの重要な事実: 係数が負になることはありません。どのような数値を受け取っても、それが正であろうと負であろうと、その係数は常に正 (または極端な場合にはゼロ) になります。これが、係数が数値の絶対値と呼ばれることが多い理由です。

さらに、正の数と負の数の係数の定義を組み合わせると、すべての数値の係数のグローバルな定義が得られます。つまり、数値の法は、数値が正 (またはゼロ) の場合はその数値自体に等しく、数値が負の場合は反対の数値に等しくなります。これを数式として書くことができます。

ゼロの係数もありますが、常にゼロに等しくなります。さらに、ゼロは反対語を持たない唯一の数です。

したがって、関数 $y=\left| を考慮すると、 x \right|$ を入力してグラフを描画してみると、次のような結果が得られます。

モジュラスグラフと方程式の解き方の例

この図から、 $\left| であることがすぐにわかります。 -m \右|=\左| m \right|$ であり、係数グラフは x 軸を下回ることはありません。しかし、それだけではありません。赤い線は直線 $y=a$ を示しており、正の $a$ の場合、$((x)_(1))$ と $((x) という 2 つの根が同時に得られます。 _(2)) $、しかしそれについては後で話します。:)

純粋に代数的な定義に加えて、幾何学的定義もあります。数直線上に $((x)_(1))$ と $((x)_(2))$ という 2 つの点があるとします。この場合、式 $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ は、単に指定された点間の距離です。または、必要に応じて、これらの点を結ぶセグメントの長さ:

係数は数直線上の点間の距離です

この定義は、係数が常に負ではないことも意味します。しかし、定義と理論は十分です - 実際の方程式に移りましょう。:)

基本計算式

さて、定義を整理しました。しかし、それは簡単にはなりませんでした。このモジュールを含む方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?

落ち着いて、とにかく落ち着いて。最も単純なことから始めましょう。次のようなことを考えてみましょう。

\[\左| x\右|=3\]

したがって、$x$ の係数は 3 です。$x$ は何に等しいでしょうか? そうですね、定義から判断すると、$x=3$ で十分満足です。本当に：

\[\左| 3\右|=3\]

他の数字はありますか？キャップはそれがあることをほのめかしているようです。たとえば、$x=-3$ も $\left| です。 -3 \right|=3$、つまり必要な等価性が満たされています。

それで、検索して考えれば、もっと多くの数字が見つかるかもしれません? しかし、正直に言って、これ以上の数字はありません。方程式 $\left| x \right|=3$ には、$x=3$ と $x=-3$ の 2 つのルートしかありません。

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。関数 $f\left(x \right)$ を変数 $x$ の代わりにモジュラス記号の下に配置し、右側のトリプルの代わりに任意の数値 $a$ を置きます。次の方程式が得られます。

\[\左| f\left(x \right) \right|=a\]

では、どうすればこれを解決できるでしょうか? 思い出してください: $f\left(x \right)$ は任意の関数であり、$a$ は任意の数値です。それらの。とにかく何でも！例えば：

\[\左| 2x+1 \right|=5\]

\[\左| 10x-5 \right|=-65\]

2 番目の方程式に注目してみましょう。彼についてすぐに言えることは、「彼にはルーツがない」ということです。なぜ？すべて正しいです。法は負の数に等しいことが必要ですが、法が常に正の数か、極端な場合にはゼロであることがすでにわかっているため、そんなことは決して起こりません。

しかし、最初の方程式を使用すると、すべてがより楽しくなります。オプションは 2 つあります。モジュラス記号の下に正の式があるか、$\left| であるかのいずれかです。 2x+1 \right|=2x+1$、またはこの式が依然として負の場合、$\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$。最初のケースでは、方程式は次のように書き換えられます。

\[\左| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

そして突然、部分モジュラー式 $2x+1$ が実際には正であることがわかります。これは数値 5 に等しいです。この方程式は安全に解くことができます。結果として得られる根が答えの一部になります。

特に不信感を抱いている人は、見つかった根を元の方程式に代入して、法の下に本当に正の数があることを確認してみるとよいでしょう。

次に、負の部分モジュラー式の場合を見てみましょう。

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \右矢印 2x+1=-5\]

おっとっと！繰り返しますが、すべてが明らかです。$2x+1 \lt 0$ と仮定し、その結果、$2x+1=-5$ が得られました。実際、この式はゼロ未満です。見つかった根が私たちに適していることをすでに確信しながら、結果の方程式を解きます。

合計で、$x=2$ と $x=3$ という 2 つの答えが再び得られました。はい、非常に単純な方程式 $\left| よりも計算量が少し多くなりました。 x \right|=3$ ですが、基本的には何も変わっていません。ということは、もしかしたら、ある種の普遍的なアルゴリズムがあるのでしょうか？

はい、そのようなアルゴリズムは存在します。そして今、それを分析していきます。

係数記号の削除

方程式 $\left| を与えてみましょう。 f\left(x \right) \right|=a$、および $a\ge 0$ (そうでない場合は、既に知っているように、ルートは存在しません)。次に、次のルールを使用して係数記号を削除できます。

\[\左| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

したがって、係数を含む方程式は 2 つに分割されますが、係数はありません。技術はそれだけです！いくつかの方程式を解いてみましょう。まずはこれから始めましょう

\[\左| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

右に10のプラスがある場合と、マイナスがある場合に分けて考えてみましょう。我々は持っています：

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8。 \\\終了(整列)\]

それだけです！ $x=1.2$ と $x=-2.8$ の 2 つの根が得られました。ソリューション全体には文字通り 2 行かかりました。

OK、疑いはありません。もう少し深刻なことを見てみましょう。

\[\左| 7-5x\右|=13\]

もう一度、プラスとマイナスを使用してモジュールを開きます。

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4。 \\\終了(整列)\]

もう一度数行書くと、答えが完成します。先ほども述べたように、モジュールに関しては何も複雑なことはありません。いくつかのルールを覚えておくだけで済みます。したがって、次に進み、本当により複雑なタスクから始めます。

右辺変数の場合

ここで、次の方程式を考えてみましょう。

\[\左| 3x-2 \right|=2x\]

この方程式は、これまでのものとは根本的に異なります。どうやって？そして、等号の右側には $2x$ という式があり、それが正であるか負であるかを事前に知ることはできません。

この場合どうすればよいでしょうか? まず、私たちはそれをきっぱりと理解しなければなりません 方程式の右辺が負の場合、方程式には根がありません。- モジュールを負の数に等しくすることはできないことはすでにわかっています。

次に、右側の部分がまだ正 (またはゼロに等しい) の場合は、前とまったく同じように動作できます。モジュールをプラス記号で個別に開くか、マイナス記号で個別に開くだけです。

したがって、任意の関数 $f\left(x \right)$ および $g\left(x \right)$ に対するルールを定式化します。

\[\左| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

方程式に関連すると、次のようになります。

\[\左| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

まあ、$2x\ge 0$ という要件には何とか対応できるでしょう。最終的には、最初の方程式から得た根を愚かにも代入して、不等式が成り立つかどうかを確認することができます。

それでは、方程式そのものを解いてみましょう。

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0。 \\\終了(整列)\]

さて、これら 2 つのルートのうち、要件 $2x\ge 0$ を満たすのはどれでしょうか? はい、両方です！したがって、答えは $x=(4)/(3)\;$ と $x=0$ の 2 つの数字になります。それが解決策です。:)

生徒の中には、もう飽き始めている人もいるのではないでしょうか？では、さらに複雑な方程式を見てみましょう。

\[\左| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

邪悪に見えますが、実際には「係数と関数が等しい」という形式の同じ方程式です。

\[\左| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

そして、それはまったく同じ方法で解決されます。

\[\左| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

不平等については後で扱います。それはどういうわけか悪すぎます（実際、それは単純ですが、解決しません）。現時点では、結果として得られる方程式を処理する方が良いでしょう。最初のケースを考えてみましょう。これは、モジュールがプラス記号で展開される場合です。

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

そうですね、左からすべてを集めて、似たものを持ってきて、何が起こるかを確認する必要があるのは簡単です。そして、これが起こります:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\終了(整列)\]

括弧内の共通因数 $((x)^(2))$ を取り出すと、非常に単純な方程式が得られます。

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

ここでは、積の重要な特性を利用しました。そのために元の多項式を因数分解しました。因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。

次に、2 番目の方程式をまったく同じ方法で処理してみましょう。これは、モジュールをマイナス記号で展開することで得られます。

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0。 \\\終了(整列)\]

もう一度同じことです。因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。我々は持っています：

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

さて、$x=0$、$x=1.5$、$x=(2)/(3)\;$ という 3 つの根が得られました。さて、このセットのどれが最終的な答えに入るでしょうか? これを行うには、不等式の形で追加の制約があることに注意してください。

この要件をどのように考慮すればよいでしょうか? 見つかったルートを置き換えて、これらの $x$ に不等式が成り立つかどうかを確認してみましょう。我々は持っています：

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\終了(整列)\]

したがって、ルート $x=1.5$ は適切ではありません。そしてそれに応じて、ルートは 2 つだけになります。

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

ご覧のとおり、この場合でも複雑なことは何もありません。モジュールを含む方程式は常にアルゴリズムを使用して解決されます。多項式と不等式をよく理解する必要があります。したがって、より複雑なタスクに進みます。モジュールはすでに 1 つではなく 2 つあります。

2 つのモジュールを含む方程式

これまで、私たちは最も単純な方程式だけを研究してきました。1 つのモジュールと他の何かがありました。この「何か他のもの」をモジュールから離れた不等式の別の部分に送信したので、最終的にはすべてが $\left| の形式の方程式に還元されます。 f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ またはさらに単純な $\left| f\left(x \right) \right|=a$。

しかし幼稚園は終わりました - もっと真剣なことを考える時が来ました。次のような方程式から始めましょう。

\[\左| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

これは、「係数と係数が等しい」という形式の方程式です。基本的に重要な点は、他の用語や要素が存在しないことです。左側には 1 つのモジュールのみ、右側にはもう 1 つのモジュールがあり、それ以上は何もありません。

このような方程式は、私たちがこれまで研究してきたものよりも解くのが難しいと考える人もいるでしょう。しかし、そうではありません。これらの方程式は解くのがさらに簡単です。式は次のとおりです。

\[\左| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

全て！サブモジュール式のいずれかの前にプラス記号またはマイナス記号を置くだけで、それらを同等とみなします。そして、結果として得られる 2 つの方程式を解きます。これで根が完成します。追加の制限や不平等などはありません。すべてがとてもシンプルです。

この問題を解決してみましょう。

\[\左| 2x+3 \右|=\左| 2x-7 \右|\]

小学生ワトソン！モジュールの拡張:

\[\左| 2x+3 \右|=\左| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

それぞれのケースを個別に考えてみましょう。

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7。 \\\終了(整列)\]

最初の方程式には根がありません。 $3=-7$ になるのはいつですか? $x$ の値は何ですか? 「$x$って一体何なの？石を投げられていますか？そこには$x$はまったくありません」とあなたは言います。そして、あなたは正しいでしょう。変数 $x$ に依存しない等式が得られましたが、同時に等式自体が正しくありません。それが根がない理由です。:)

2 番目の方程式では、すべてがもう少し興味深いものになりますが、非常に非常に単純でもあります。

ご覧のとおり、すべては文字通り数行で解決されました - 線形方程式からは他に何も期待していませんでした。:)

その結果、最終的な答えは $x=1$ になります。

それで、どうやって？難しい？もちろん違います。別のことを試してみましょう:

\[\左| x-1 \右|=\左| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

ここでも $\left| という形式の方程式が得られます。 f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$。したがって、すぐにそれを書き換えて、係数の符号を明らかにします。

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

おそらく誰かがこう尋ねるでしょう。なぜ「プラス・マイナス」は右側の式に現れ、左側には現れないのですか？落ち着いて、今からすべて説明します。実際、良い意味で、方程式を次のように書き換えるべきでした。

次に、括弧を開き、すべての項を等号の片側に移動し (当然、どちらの場合も方程式は正方形になるため)、根を見つける必要があります。しかし、認めなければなりません。「プラスマイナス」が 3 つの項の前にある場合 (特にこれらの項の 1 つが二次式である場合)、「プラスマイナス」が 2 つの項のみの前にある場合よりも、どういうわけか複雑に見えます。

しかし、元の方程式を次のように書き直すことを妨げるものは何もありません。

\[\左| x-1 \右|=\左| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \右|=\左| x-1 \右|\]

どうしたの？特別なことは何もありません。左側と右側を交換しただけです。最終的に私たちの生活を少し楽にしてくれるちょっとしたこと。:)

一般に、プラスとマイナスのオプションを考慮して、この方程式を解きます。

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0。 \\\終了(整列)\]

最初の方程式の根は $x=3$ と $x=1$ です。 2 番目は通常、正確な正方形です。

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

したがって、ルートは 1 つだけです: $x=1$。しかし、私たちはすでにこのルートを以前に取得しています。したがって、最終的な答えには 2 つの数字だけが含まれます。

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

作戦完了！棚からパイを取り出して食べることができます。 2 つありますが、あなたのは真ん中のものです。:)

重要な注意点。モジュールの展開のさまざまなバリエーションに同一の根が存在するということは、元の多項式が因数分解され、これらの因数の中には間違いなく共通の多項式が存在することを意味します。本当に：

\[\begin(整列)& \left| x-1 \右|=\左| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \左| x-1 \右|=\左| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|。 \\\終了(整列)\]

モジュールプロパティの 1 つ: $\left| a\cdot b \右|=\左| \right|\cdot \left| b \right|$ (つまり、積の係数は係数の積に等しい) なので、元の方程式は次のように書き換えることができます。

\[\左| x-1 \右|=\左| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \右|\]

ご覧のとおり、実際には共通項があります。ここで、すべてのモジュールを片側に集めると、この要素を括弧から取り出すことができます。

\[\begin(整列)& \left| x-1 \右|=\左| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \右|; \\& \左| x-1 \右|-\左| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \左| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0。 \\\終了(整列)\]

ここで、因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しいことを思い出してください。

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1。 \\\end(align) \right.\]

したがって、2 つのモジュールを含む元の方程式は、レッスンの最初に説明した 2 つの最も単純な方程式に縮小されます。このような方程式は文字通り数行で解くことができます。:)

この指摘は不必要に複雑で、実際には適用できないように思えるかもしれません。しかし、実際には、今日取り上げている問題よりもはるかに複雑な問題に遭遇する可能性があります。これらでは、モジュールを多項式、算術根、対数などと組み合わせることができます。そして、そのような状況では、括弧の外に何かを取り出すことによって方程式全体の次数を下げる機能が非常に役立ちます。:)

ここで、別の方程式を見ていきたいと思いますが、これは一見すると狂っているように見えるかもしれません。モジュールをよく理解していると思っている学生であっても、多くの学生がここで行き詰まってしまいます。

ただし、この方程式は、前に見た方程式よりも解くのがさらに簡単です。その理由が理解できれば、モジュライを使用して方程式をすばやく解く別のコツも得られるでしょう。

したがって、方程式は次のようになります。

\[\左| x-((x)^(3)) \右|+\左| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

いいえ、これはタイプミスではありません。モジュール間のプラスです。そして、2 つのモジュールの合計がゼロに等しい $x$ を見つける必要があります。:)

いったい何が問題なのでしょうか？しかし問題は、各モジュールが正の数、または極端な場合にはゼロであることです。 2 つの正の数を加算するとどうなるでしょうか? 明らかに再び正の数です。

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

最後の行でヒントが得られるかもしれません。モジュールの合計がゼロになるのは、各モジュールがゼロの場合だけです。

そしてモジュールがゼロになるのはいつでしょうか? 1 つの場合のみ、部分モジュラー式がゼロに等しい場合:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

したがって、最初のモジュールがゼロにリセットされる点は 0、1、および -1 の 3 つになります。 2 番目のモジュールがゼロにリセットされる 2 つの点、-2 と 1 も同様です。ただし、両方のモジュールを同時にゼロにリセットする必要があるため、見つかった数値の中から、両方のセット。明らかに、そのような数値は 1 つだけです: $x=1$ - これが最終的な答えになります。

へき開法

さて、私たちはすでに多くの問題をカバーし、多くのテクニックを学びました。それだけだと思いますか？しかし、そうではありません。ここで、最後のテクニック、そして同時に最も重要なテクニックを見ていきます。係数を使用した方程式の分割について説明します。何について話しましょうか？少し戻って、簡単な方程式を見てみましょう。たとえばこれ:

\[\左| 3x-5 \right|=5-3x\]

原理的には、このような方程式は $\left| という形式の標準的な構造であるため、この方程式の解き方はすでにわかっています。 f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$。しかし、この方程式を少し別の角度から見てみましょう。より正確には、係数記号の下の式を考えてみましょう。任意の数値の法は、その数値自体と等しい場合もあれば、この数値の逆になる場合もあることを思い出してください。

\[\左| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

実際、このあいまいさが問題全体です。法の下にある数値が変化するため (変数によって異なります)、それが正であるか負であるかは明確ではありません。

しかし、最初にこの数値が正であることが必要な場合はどうなるでしょうか? たとえば、 $3x-5 \gt 0$ が必要です。この場合、係数記号の下で正の数が得られることが保証されており、この係数そのものを完全に取り除くことができます。

したがって、方程式は線形になり、簡単に解くことができます。

確かに、これらすべての考えは $3x-5 \gt 0$ という条件下でのみ意味を成します。モジュールを明確に明らかにするために、私たち自身がこの要件を導入しました。したがって、見つかった $x=\frac(5)(3)$ をこの条件に代入して確認してみましょう。

$x$ の指定された値では、要件が満たされていないことがわかります。式はゼロに等しいことが判明しましたが、厳密にゼロより大きい必要があります。悲しい。:(

しかし、それは大丈夫です！結局のところ、$3x-5 \lt 0$ という別のオプションがあります。さらに、$3x-5=0$ の場合もあります。これも考慮する必要があります。そうでないと、解決策は不完全になります。そこで、$3x-5 \lt 0$ の場合を考えてみましょう。

明らかに、モジュールはマイナス記号で開きます。しかし、その後、奇妙な状況が発生します。元の方程式の左側と右側の両方に、同じ式が突き出ています。

$5-3x$ という式は、$5-3x$ という式と何 $x$ で等しくなるのでしょうか? このような方程式を考えると、オブビアスネス船長でさえ唾液が詰まるでしょうが、私たちは知っています。この方程式は恒等式です。これは変数のどの値にも当てはまります。

これは、どの $x$ も私たちに適していることを意味します。ただし、次のような制限があります。

言い換えれば、答えは単一の数値ではなく、区間全体になります。

最後に、考慮すべきケースがもう 1 つ残っています: $3x-5=0$。ここではすべてが単純です。係数の下にはゼロがあり、ゼロの係数もゼロに等しくなります (これは定義から直接得られます)。

しかし、元の方程式 $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ は次のように書き換えられます。

$3x-5 \gt 0$ の場合を検討したときに、上でこのルートをすでに取得しています。さらに、この根は方程式 $3x-5=0$ の解です - これは、モジュールをリセットするために私たち自身が導入した制限です。:)

したがって、間隔に加えて、この間隔の最後にある数値も満足することになります。

モジュロ方程式での根の結合

最終的な答えの合計: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ 係数を使った非常に単純な (本質的に線形) 方程式の答えにこのようなくだらないものを見るのはあまり一般的ではありません。本当に? まあ、慣れてください: このモジュールの難しさは、そのような方程式の答えが完全に予測できないことが判明する可能性があることです。

他にもっと重要なことがあります。係数を使用して方程式を解くための汎用アルゴリズムを分析したところです。そして、このアルゴリズムは次のステップで構成されます。

方程式内の各係数をゼロとみなします。いくつかの方程式が得られます。
これらすべての方程式を解き、数直線上に根をマークします。その結果、直線はいくつかの区間に分割され、それぞれの区間ですべてのモジュールが一意に明らかになります。
各区間の元の方程式を解き、答えを組み合わせます。

それだけです！残る疑問は 1 つだけです。ステップ 1 で取得したルートをどうするかです。 $x=1$ と $x=5$ という 2 つのルートがあるとします。数直線を 3 つの部分に分割します。

点を使用して数直線を間隔に分割する

それで、間隔はどれくらいですか？そのうちの 3 つがあることは明らかです。

一番左のもの: $x \lt 1$ — 単位自体は間隔に含まれません。
中央: $1\le x \lt 5$ - ここでは 1 は間隔に含まれていますが、5 は含まれていません。
一番右: $x\ge 5$ - 5 はここにのみ含まれます。

パターンはすでに理解されていると思います。各区間には左端が含まれ、右端は含まれません。

一見すると、そのようなエントリは不便で非論理的で、一般的にある種の狂気のように見えるかもしれません。しかし、信じてください。少し練習すれば、このアプローチが最も信頼性が高く、モジュールを明確に開くことを妨げないことがわかるでしょう。毎回考えるよりも、このようなスキームを使用する方が良いでしょう。現在の間隔に左端/右端を与えるか、次の間隔に「スロー」します。

これでレッスンは終了です。問題をダウンロードして自分で解決し、練習して答えと比較してください。また、モジュライの不等式を扱う次のレッスンでお会いしましょう。:)

係数を使用して方程式と不等式を解くしばしば困難を引き起こします。しかし、それが何なのかをよく理解すれば、 数値の絶対値、そして モジュラス記号を含む式を正しく展開する方法、その後、方程式内の存在 モジュラス記号の下の式、解決への障害ではなくなります。

ちょっとした理論。各数値には、数値の絶対値とその符号という 2 つの特性があります。

たとえば、数値 +5 (単に 5) には「+」符号があり、絶対値は 5 です。

数値 -5 には「-」記号があり、絶対値は 5 です。

数字5と-5の絶対値は5です。

数値 x の絶対値は数値の法と呼ばれ、|x| で表されます。

ご覧のとおり、数値の法は、その数値が 0 以上の場合はその数値自体に等しく、この数値が負の場合は反対の符号を付けた数値に等しくなります。

同じことが、係数記号の下に表示される式にも当てはまります。

モジュール展開ルールは次のようになります。

|f(x)|= f(x) f(x) ≥ 0 の場合、および

|f(x)|= - f(x)、f(x) の場合< 0

たとえば、x-3≥0 の場合は |x-3|=x-3、x-3 の場合は |x-3|=-(x-3)=3-x となります。<0.

係数記号の下の式を含む方程式を解くには、まず次のことを行う必要があります。 モジュール展開ルールに従ってモジュールを展開します.

すると、方程式または不等式は次のようになります。 2 つの異なる数値間隔に存在する 2 つの異なる方程式に変換します。

1 つの方程式は、係数記号の下の式が非負となる数値区間上に存在します。

そして 2 番目の方程式は、法符号の下の式が負になる区間上に存在します。

簡単な例を見てみましょう。

方程式を解いてみましょう:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. モジュールを開いてみましょう。

|x-3|=x-3、x-3≥0 の場合、つまり x≧3の場合

|x-3|=-(x-3)=x-3 の場合は 3-x<0, т.е. если х<3

2. 2 つの数値区間を受け取りました: x≥3 と x<3.

元の方程式が各区間でどの方程式に変換されるかを考えてみましょう。

A) x≥3 |x-3|=x-3 の場合、傷の形は次のとおりです。

注意！この方程式は区間 x≥3 でのみ存在します。

括弧を開いて同様の用語を示してみましょう。

そしてこの方程式を解きます。

この方程式には根があります。

x 1 =0、x 2 =3

注意！方程式 x-3=-x 2 +4x-3 は区間 x≥3 にのみ存在するため、この区間に属する根のみに関心があります。この条件は、x 2 =3 によってのみ満たされます。

B) x で<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

注意！この方程式は区間 x 上でのみ存在します。<3!

括弧を開けて類似の用語を示してみましょう。次の方程式が得られます。

x 1 =2、x 2 =3

注意！方程式 3-x=-x 2 +4x-3 は区間 x 上にのみ存在するため<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

したがって、最初の区間からはルート x=3 のみを取得し、2 番目の区間からはルート x=2 を取得します。

シール