どの積分が正しく計算されているか。オンラインで定積分を計算する

積分を解くのは簡単な作業ですが、選択した少数の人だけが行います。この記事は、積分を理解することを学びたいが、それらについて何もまたはほとんど何も知らない人のためのものです。インテグラル...なぜそれが必要なのですか？それを計算する方法は？確定積分と不定積分とは何ですか？

あなたが知っているインテグラルの唯一の用途が、インテグラルアイコンの形をしたかぎ針編みで手の届きにくい場所から何か役に立つものをかぎ針編みすることであるなら、あなたは大歓迎です！初等およびその他の積分を解く方法と、数学でそれなしではできない理由を学びます。

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統合は古代エジプト以来知られています。もちろん、その現代的な形ではありませんが、それでも。それ以来、数学者はこのトピックについて多くの本を書いています。特に際立った ニュートン と ライプニッツ しかし、物事の本質は変わっていません。

積分を最初から理解する方法は？とんでもない！このトピックを理解するには、数学分析の基礎に関する基本的な知識が必要です。積分を理解するために必要な極限と導関数についての情報は、ブログにすでにあります。

不定積分

ある種の機能があるとしましょう f（x） .

関数の不定積分 f（x） そのような関数は呼び出されます F（x） その導関数は関数に等しい f（x） .

言い換えれば、積分は逆導関数または不定積分です。ちなみに、私たちの記事で導関数を計算する方法について読んでください。

不定積分は、すべての連続機能に存在します。また、定数によって異なる関数の導関数が一致するため、定数の符号が不定積分に追加されることがよくあります。積分を見つけるプロセスは統合と呼ばれます。

簡単な例：

初等関数の不定積分を絶えず計算しないようにするには、それらをテーブルにまとめて、既成の値を使用すると便利です。

学生のための積分の完全な表

定積分

積分の概念を扱うとき、私たちは微小量を扱っています。積分は、図形の面積、不均一な物体の質量、不均一な動きで移動した経路などを計算するのに役立ちます。積分は、無限に多数の微小項の合計であることを覚えておく必要があります。

例として、いくつかの関数のグラフを想像してみましょう。

関数のグラフで囲まれた形状の領域を見つける方法は？積分を使用して！座標軸と関数のグラフで囲まれた曲線台形を無限に小さいセグメントに分割します。したがって、図は細い列に分割されます。列の面積の合計は、台形の面積になります。ただし、このような計算ではおおよその結果が得られることを忘れないでください。ただし、セグメントが小さくて狭いほど、計算はより正確になります。長さがゼロになる程度にそれらを減らすと、セグメントの面積の合計は図の面積になる傾向があります。これは定積分であり、次のように記述されます。

点aとbは積分の限界と呼ばれます。

« 積分 »

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ダミーの積分計算規則

不定積分特性

不定積分を解く方法は？ここでは、例を解くときに役立つ不定積分の特性を見ていきます。

積分の導関数は被積分関数に等しい：

定数は、積分記号の下から取り出すことができます。

合計の積分は、積分の合計に等しくなります。違いについても同様です。

定積分の性質

直線性：

積分限界を逆にすると、積分記号が変わります。

で どれかポイント NS, NSとと:

定積分が和の限界であることはすでにわかっています。しかし、例を解くときにどのようにして特定の値を取得しますか？これには、ニュートン-ライプニッツの公式があります。

統合ソリューションの例

以下では、不定積分と解の例を検討します。ソリューションの複雑さを独自に把握し、不明な点がある場合はコメントで質問することをお勧めします。

資料を統合するには、積分が実際にどのように解決されるかについてのビデオをご覧ください。積分がすぐに与えられなくても落胆しないでください。専門の学生サービスに連絡してください。閉じた表面上でトリプルまたは曲線積分を処理できます。

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積分を最初から理解する方法は？とんでもない！このトピックを理解するには、数学分析の基礎に関する基本的な知識が必要です。積分を理解するために必要な情報は、すでにブログにあります。

不定積分

ある種の機能があるとしましょう f（x） .

関数の不定積分 f（x） そのような関数は呼び出されます F（x） その導関数は関数に等しい f（x） .

言い換えれば、積分は逆導関数または不定積分です。ちなみに、私たちの記事でその方法について読んでください。

簡単な例：

初等関数の不定積分を絶えず計算しないようにするには、それらをテーブルにまとめて、既成の値を使用すると便利です。

学生のための積分の完全な表

定積分

例として、いくつかの関数のグラフを想像してみましょう。

点aとbは積分の限界と呼ばれます。

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不定積分特性

不定積分を解く方法は？ここでは、例を解くときに役立つ不定積分の特性を見ていきます。

積分の導関数は被積分関数に等しい：

定数は、積分記号の下から取り出すことができます。

合計の積分は、積分の合計に等しくなります。違いについても同様です。

定積分の性質

直線性：

積分限界を逆にすると、積分記号が変わります。

で どれかポイント NS, NSとと:

統合ソリューションの例

不定積分の計算例

テーブル上の積分を計算する

置換による統合：

積分の計算例

基本的なニュートン-ライプニッツの公式

置換計算

第4章微分方程式。

微分方程式は独立変数を結ぶ方程式です NS 、必要な機能でおよびその導関数または微分。

記号的に微分された方程式は次のように記述されます。

微分方程式は普通必要な関数が1つの独立変数に依存する場合。

オーダー微分方程式は、この方程式に含まれる最高の導関数（または微分）の次数と呼ばれます。

決断（また積分）微分方程式の）は、この方程式をアイデンティティに変換する関数と呼ばれます。

一般的な決定による（また 一般的な積分微分方程式の）は、方程式の次数と同じ数の独立した任意の定数を含む解です。したがって、1階微分方程式の一般解には、任意の定数が1つ含まれています。

個人的な決定による微分方程式は、任意の定数のさまざまな数値の一般的な方程式から得られる解です。任意の定数の値は、引数と関数の特定の初期値にあります。

微分方程式の特定の解のグラフは、 積分曲線。

すべての積分曲線のセット（ファミリ）は、微分方程式の一般解に対応します。

一次微分方程式一次以下の導関数（または微分）を含む方程式が呼び出されます。

分離可能な変数を持つ微分方程式次の形式の方程式と呼ばれます

この方程式を解くには、最初に変数を分離する必要があります。

次に、結果の平等の両側を統合します。

1. 方程式の一般的な解を見つける

o私たちが持っている変数を分割する

結果の方程式の両側を統合します。

任意の定数なのでと任意の数値を取ることができ、その後の代わりにさらなる変換の便宜のために NS（1/2）lnと書いた NS。最後の平等を強化して、

これは、この方程式の一般的な解です。

文学

V. G. Boltyanskiy、微分とは何か、「数学で人気のある講義」、

第17号、Gostekhizdat 1955、64ページ。

V. A. Gusev、A。G.Mordkovich「数学」

G. M. Fikhtengolts「微分積分学のコース」、第1巻

VM Borodikhin、高等数学、教科書。マニュアル、ISBN5-7782-0422-1。

Nikol'skiiSM第9章明確なリーマン積分//数学的分析のコース。 -1990 .-- T.1。

Il'in VA、PoznyakEG第6章。不定積分//数学的分析の基礎。 -1998.-T. 1 .-（高等数学および数理物理学のコース）。

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Valutse I.I.、Diligul G.D. 高校を拠点とする専門学校の数学：教科書-第2版Rev. と追加します。 M.6サイエンス。 1989年

Kolyagin Yu.M. ヤコブレフG.N. 専門学校のための数学。代数と分析の始まり1と2の部分。出版社「サイエンス」M.、1981年

V.S.スキパチェフ高等数学の課題：教科書。大学向けマニュアル。より高い。 Shk。 1997年

Bogomolov N.V.数学の実践的なレッスン：教科書。専門学校向けのマニュアル。より高い。 Shk 1997

この計算機を使用すると、特定の積分をオンラインで解くことができます。実際には、 定積分計算-これは、関数のグラフの下の面積に等しい数を見つけることです。このソリューションでは、統合の境界と統合する機能を設定する必要があります。積分後、システムは与えられた関数の不定積分を見つけ、積分境界の点でその値を計算し、それらの差を見つけます。これは定積分の解になります。不定積分を解くには、同様のオンライン計算機を使用する必要があります。これは、当社のWebサイトのリンク「不定積分を解く」の下にあります。

許可します オンラインで定積分を計算する高速で信頼性があります。あなたは常に正しい解決策を得るでしょう。さらに、表形式の積分の場合、答えは古典的な形式で提示されます。つまり、数値「円周率」、「指数」などの既知の定数で表されます。すべての計算は完全に無料で、登録は必要ありません。私たちと定積分を解くことにより、時間のかかる複雑な計算から身を守ることができます。または、自分で積分を解くことにより、受け取った解を確認することができます。

チュートリアルの定義が複雑すぎて理解できない場合は、記事を読んでください。定積分などの数学の分野の要点を説明するために、できるだけ簡単に「指で」試してみます。積分の計算方法については、このマニュアルをお読みください。

幾何学的な観点から、関数の積分は、与えられた関数のグラフと積分の範囲内の軸によって形成される図の領域です。積分を書き留め、積分の下の関数を分析します。被積分関数を単純化できる場合（縮小、積分記号を因数分解、2つの単純な積分に分割）、それを実行します。積分の表を開いて、どの関数導関数が積分の下にあるかを判別します。答えは見つかりましたか？積分のために取り出された係数を書き留め（この場合）、テーブルから見つかった関数を書き留め、積分の境界を置き換えます。