三角形の周囲と面積。三角形の周囲と面積二等辺三角形とその周囲

周囲長は、図形のすべての辺の合計です。この特性は、面積とともに、すべての数字に等しく求められています。二等辺三角形の周囲長の公式は、その特性から論理的に導き出されますが、公式は、実践的なスキルを取得して統合するほど複雑ではありません。

周長式

二等辺三角形の辺は互いに等しい。これは定義に基づいており、図の名前からもはっきりとわかります。このプロパティから、周囲の式は次のようになります。

P = 2a + b、ここでbは三角形の底、aは辺の値です。

米。 1.二等辺三角形

式から、周囲を見つけるには、ベースと側面の1つのサイズを知るだけで十分であることがわかります。二等辺三角形の周囲を見つける際のいくつかの問題を考慮してください。複雑さが増すにつれて問題を解決します。これにより、境界を見つけるために従う必要のある考え方をよりよく理解できるようになります。

タスク1

二等辺三角形では、底辺は6で、この底辺に描かれる高さは4です。図の周囲を見つける必要があります。

米。 2.タスク1の描画

底辺に描かれた二等辺三角形の高さも中央値と高さです。このプロパティは、二等辺三角形に関連する問題の解決によく使用されます。

高さVMの三角形ABCは、ABMとBCMの2つの直角三角形に分割されます。三角形AVMでは、脚VMが既知であり、VMは二等分線と高さの中央値であるため、脚AMは三角形ABCの底辺の半分に等しくなります。ピタゴラスの定理を使用して、斜辺ABの値を見つけます。

$$ AB ^ 2 = AM ^ 2 + BM ^ 2 $$

$$ AB = \ sqrt（AM ^ 2 + BM ^ 2）= \ sqrt（3 ^ 2 + 4 ^ 2）= \ sqrt（9 + 16）= \ sqrt（25）= 5 $$

周囲長を見つける：P = AC + AB * 2 = 6 + 5 * 2 = 16

タスク2

二等辺三角形では、底辺に引かれる高さは10度で、底辺の鋭角は30度です。三角形の周囲を見つける必要があります。

米。 3.タスク2の描画

このタスクは、三角形の辺に関する情報が不足しているため複雑ですが、高さと角度の値がわかれば、直角三角形ABHで脚AHを見つけることができ、ソリューションは問題と同じシナリオに従います。 1.1。

サインの値からAHを見つけましょう。

$$ sin（ABH）=（BH \ over AB）=（1 \ over2）$$-30度の正弦はテーブル値です。

希望する側面を表現しましょう：

$$ AB =（（BH \ over（1 \ over 2）））= BH * 2 = 10 * 2 = 20 $$

余接を通して、AHの価値を見つけます。

$$ ctg（BAH）=（AH \ over BH）=（1 \ over \ sqrt（3））$$

$$ AH =（BH \ over \ sqrt（3））= 10 * \ sqrt（3）= 17.32 $$-結果の値を100分の1に丸めます。

ベースを見つけましょう：

AC = AH * 2 = 17.32 * 2 = 34.64

必要な値がすべて見つかったので、境界を定義しましょう：

P = AC + 2 * AB = 34.64 + 2 * 20 = 74.64

タスク3

二等辺三角形ABCでは、面積は$$ 16 \ over \ sqrt（3）$$で、底辺の鋭角は30度です。三角形の周囲を見つけます。

条件の値は、多くの場合、ルートと数値の積として与えられます。これは、その後の決定をエラーから可能な限り保護するために行われます。計算の最後に結果を丸めることをお勧めします

このような問題の定式化では、入手可能なデータから片側または高さを表現することが難しいため、解決策がないように見える場合があります。別の方法で決定してみましょう。

ベースの高さと半分をラテン文字で示しましょう：BH = hおよびAH = a

その場合、ベースは次のようになります。AC= AH + HC = AH * 2 = 2a

面積：$$ S =（1 \ over 2）* AC * BH =（1 \ over 2）* 2a * h = ah $$

一方、hの値は、三角形ABHから鋭角の接線で表すことができます。なぜ接線？三角形ABHで、すでに2本の脚aとhをマークしているからです。一方は他方の観点から表現する必要があります。 2本の脚が接線と余接を接続します。従来、コタンジェントとコサインは、タンジェントまたはサインが適合しない場合にのみ使用されます。これはルールではありません、あなたはそれがどれほど便利であるかを決めることができます、それはただ受け入れられます。

$$ tg（BAH）=（h \ over（a））=（1 \ over \ sqrt（3））$$

$$ h =（a \ over \ sqrt（3））$$

結果の値を面積式に代入します。

$$ S = a * h = a *（a \ over \ sqrt（3））=（（a ^ 2）\ over \ sqrt（3））$$

表現：

$$ a = \ sqrt（S * \ sqrt（3））= \ sqrt（16 \ over \ sqrt（3）* \ sqrt（3））= \ sqrt（16）= 4 $$

面積式のaの値を代入し、高さの値を決定します。

$$ S = a * h =（16 \ over \ sqrt（3））$$

$$ h =（S \ over（a））=（（16 \ over \ sqrt（3））\ over（4））=（4 \ over \ sqrt（3））= 2.31 $$-受け取った値は切り上げ100分の1に。

ピタゴラスの定理を通して、三角形の辺を見つけます。

$$ AB ^ 2 = AH ^ 2 + BH ^ 2 $$

$$ AB = \ sqrt（AH ^ 2 + BH ^ 2）= \ sqrt（4 ^ 2 + 2.31 ^ 2）= 4.62 $$

値を周囲の式に代入します：

P = AB * 2 + AH * 2 = 4.62 * 2 + 4 * 2 = 17.24

私たちは何を学びましたか？

二等辺三角形の周囲を見つけることのすべての複雑さを詳細に理解しました。二等辺三角形を解くために典型的な問題がどのように解決されるかを例として示して、複雑さのレベルが異なる3つの問題を解決しました。

トピッククイズ

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予備情報

平面内の平らな幾何学的図形の周囲は、そのすべての辺の長さの合計として定義されます。三角形も例外ではありません。まず、三角形の概念と、辺に応じた三角形の種類について説明します。

定義1

三角形を幾何学的図形と呼びます。これは、セグメントで接続された3つの点で構成されます（図1）。

定義2

定義1内の点は、三角形の頂点と呼ばれます。

定義3

定義1のフレームワーク内のセグメントは、三角形の辺と呼ばれます。

明らかに、どの三角形にも3つの頂点と3つの辺があります。

辺の比率に応じて、三角形は不等辺三角形、二等辺三角形、正三角形に分けられます。

定義4

三角形の辺が他の辺と等しくない場合、その三角形は不等辺三角形であると言われます。

定義5

2つの辺が互いに等しいが、3番目の辺と等しくない場合、三角形の二等辺三角形と呼びます。

定義6

三角形のすべての辺が互いに等しい場合、その三角形は正三角形と呼ばれます。

これらの三角形のすべてのタイプを図2に示します。

不等辺三角形の周囲を見つける方法は？

辺の長さが$α$、$β$、$γ$に等しい不等辺三角形が与えられます。

出力：不等辺三角形の周囲を見つけるには、その辺のすべての長さを合計します。

例1

$ 34 $ cm、$ 12 $ cm、および$ 11 $ cmに等しい不等辺三角形の周囲長を見つけます。

$ P = 34 + 12 + 11 = 57 $ cm

回答：57ドルを参照してください。

例2

脚が$ 6 $と$ 8 $ cmの直角三角形の周囲長を見つけます。

まず、ピタゴラスの定理を使用して、この三角形の斜辺の長さを見つけます。 $α$で表し、次に

$α= 10 $不等辺三角形の周囲長を計算するための規則に従って、次のようになります。

$ P = 10 + 8 + 6 = 24 $ cm

回答：24ドルを参照してください。

二等辺三角形の周囲を見つける方法は？

辺の長さが$α$に等しく、底辺の長さが$β$に等しい二等辺三角形が与えられます。

平らな幾何学的図形の周囲の定義により、次のようになります。

$ P =α+α+β=2α+β$

出力：二等辺三角形の周囲長を見つけるには、辺の長さの2倍を底辺の長さに追加します。

例3

二等辺三角形の辺が$ 12 $ cmで、底辺が$ 11 $ cmの場合、二等辺三角形の周囲長を求めます。

上記の例から、次のことがわかります。

$ P = 2 \ cdot 12 + 11 = 35 $ cm

回答：35ドルを参照してください。

例4

底辺に引かれた高さが$ 8 $ cmで、底辺が$ 12 $ cmの場合、二等辺三角形の周囲を見つけます。

問題の状態に応じて図を検討してください。

三角形は二等辺三角形であるため、$ BD $も中央値であり、したがって$ AD = 6 $ cmです。

ピタゴラスの定理により、三角形$ ADB $から、辺を見つけます。 $α$で表し、次に

二等辺三角形の周囲長を計算するための規則に従って、次のようになります。

$ P = 2 \ cdot 10 + 12 = 32 $ cm

回答：32ドルを参照してください。

正三角形の周囲を見つける方法は？

すべての辺の長さが$α$に等しい正三角形が与えられます。

平らな幾何学的図形の周囲の定義により、次のようになります。

$ P =α+α+α=3α$

出力：正三角形の周囲を見つけるには、三角形の辺の長さに$ 3 $を掛けます。

例5

正三角形の辺が$ 12 $ cmの場合、その周囲を見つけます。

上記の例から、次のことがわかります。

$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ cm

すべての三角形は、その3つの辺の長さの合計に等しくなります。三角形の周囲を見つけるための一般式は次のとおりです。

P = a + b + c

どこ P三角形の周囲長です a, bと c-彼の側。

これは、辺の長さを直列に加算するか、辺の長さに2を掛けて、ベースの長さを積に加算することで求めることができます。二等辺三角形の周囲を見つけるための一般式は次のようになります。

P = 2a + b

どこ P二等辺三角形の周囲長です。 a-いずれかの側面、 b- ベース。

辺の長さを直列に加算するか、いずれかの辺の長さに3を掛けることで見つけることができます。正三角形の周囲を見つけるための一般的な式は、次のようになります。

P = 3a

どこ P正三角形の周囲長です。 a-その側面のいずれか。

領域

三角形の面積を測定するために、それを平行四辺形と比較することができます。三角形を考えてみましょう ABC:

それに等しい三角形を取り、平行四辺形が得られるようにそれを取り付けると、この三角形と同じ高さと底辺の平行四辺形が得られます。

この場合、一緒に折りたたまれた三角形の共通の辺は、形成された平行四辺形の対角線です。平行四辺形の特性から、対角線は常に平行四辺形を2つの等しい三角形に分割することが知られています。つまり、各三角形の面積は平行四辺形の面積の半分に等しくなります。

平行四辺形の面積はその底辺と高さの積に等しいので、三角形の面積はこの積の半分に等しくなります。したがって、Δについては ABC面積はに等しくなります

ここで直角三角形を考えてみましょう。

2つの等しい直角三角形は、斜辺によって互いに寄りかかっている場合、長方形に折りたたむことができます。長方形の面積は隣接する辺の積に等しいため、特定の三角形の面積は次のようになります。

このことから、直角三角形の面積は、脚を2で割った積に等しいと結論付けることができます。

これらの例から、次のように結論付けることができます。 任意の三角形の面積は、ベースの長さとベースにドロップされた高さの積を2で割ったものに等しくなります。三角形の領域を見つけるための一般的な式は次のようになります：

S =	ああ
	2

どこ S三角形の面積です、 a-その基盤 h a-高さをベースまで下げました a.

三角形の周囲、他のものや他の図と同様に、すべての辺の長さの合計と呼ばれます。多くの場合、この値は領域を見つけるのに役立つか、図の他のパラメーターを計算するために使用されます。
三角形の周囲の式は次のようになります。

三角形の周囲長を計算する例。辺がa = 4 cm、b = 6 cm、c = 7cmの三角形を指定します。データを次の式に代入します。cm

周長を計算するための式 二等辺三角形次のようになります。

周長を計算するための式 正三角形:

正三角形の周囲長を計算する例。図のすべての辺が等しい場合、それらは単純に3倍することができます。この場合、一辺が5cmの正三角形が与えられたとしましょう：cm

一般に、すべての辺が与えられている場合、周囲を見つけるのはかなり簡単です。他の状況では、欠落している側のサイズを見つける必要があります。直角三角形では、3番目の辺を見つけることができますピタゴラスの定理。たとえば、脚の長さがわかっている場合は、次の式を使用して斜辺を見つけることができます。

直角三角形の脚の長さがわかっている場合、二等辺三角形の周囲長を計算する例を考えてみましょう。
脚のある三角形が与えられた場合a \ u003d b \ u003d 5cm。周囲長を見つけます。まず、。で欠けている側を見つけましょう。 CM
次に、周囲長を計算しましょう：cm
直角二等辺三角形の周囲長は17cmになります。

斜辺と片足の長さがわかっている場合、次の式を使用して、欠落している斜辺を見つけることができます。
斜辺と鋭角の1つが直角三角形でわかっている場合、欠落している辺は式によって求められます。