解を伴う定積分の例の解。定積分の解

積分を解くのは簡単な作業ですが、選択した少数の人だけが行います。この記事は、積分を理解することを学びたいが、それらについて何もまたはほとんど何も知らない人のためのものです。インテグラル...なぜそれが必要なのですか？それを計算する方法は？確定積分と不定積分とは何ですか？

あなたが知っているインテグラルの唯一の用途が、インテグラルアイコンの形をしたかぎ針編みで手の届きにくい場所から何か役に立つものをかぎ針編みすることであるなら、あなたは大歓迎です！初等積分やその他の積分を解く方法と、数学でそれなしではできない理由を学びましょう。

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統合は古代エジプト以来知られています。もちろん、その現代的な形ではありませんが、それでも。それ以来、数学者はこのトピックについて多くの本を書いています。特に際立った ニュートン と ライプニッツ しかし、物事の本質は変わっていません。

積分を最初から理解する方法は？とんでもない！このトピックを理解するには、微積分の基礎に関する基本的な知識が必要です。積分を理解するために必要な極限と導関数についての情報は、ブログにすでにあります。

不定積分

ある種の機能があるとしましょう f（x） .

関数の不定積分 f（x） そのような関数は呼び出されます F（x） その導関数は関数に等しい f（x） .

言い換えれば、積分は逆導関数または不定積分です。ちなみに、私たちの記事で導関数を計算する方法について読んでください。

不定積分は、すべての連続機能に存在します。また、定数によって異なる関数の導関数が一致するため、定数の符号が不定積分に追加されることがよくあります。積分を見つけるプロセスは統合と呼ばれます。

簡単な例：

初等関数の不定積分を絶えず計算しないために、それらをテーブルに持ってきて、既製の値を使用すると便利です。

学生のための積分の完全な表

定積分

積分の概念を扱うとき、私たちは微小量を扱っています。積分は、図形の面積、不均一な物体の質量、不均一な動きで移動した経路などを計算するのに役立ちます。積分は、無限に多数の無限に小さい項の合計であることを覚えておく必要があります。

例として、いくつかの関数のグラフを想像してみましょう。

関数のグラフで囲まれた形状の領域を見つける方法は？積分を使用して！座標軸と関数のグラフで囲まれた曲線台形を無限に小さいセグメントに分割します。したがって、図は細い列に分割されます。列の面積の合計は、台形の面積になります。ただし、このような計算ではおおよその結果が得られることを忘れないでください。ただし、セグメントが小さくて狭いほど、計算はより正確になります。長さがゼロになる程度にそれらを減らすと、セグメントの面積の合計は図の面積になる傾向があります。これは定積分であり、次のように記述されます。

点aとbは積分の限界と呼ばれます。

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ダミーの積分計算規則

不定積分特性

不定積分を解く方法は？ここでは、例を解くときに役立つ不定積分の特性を見ていきます。

積分の導関数は被積分関数に等しい：

定数は、積分記号の下から取り出すことができます。

合計の積分は、積分の合計に等しくなります。違いについても同様です。

定積分の性質

直線性：

積分限界を逆にすると、積分記号が変わります。

で どれかポイント NS, NSとと:

定積分が和の限界であることはすでにわかっています。しかし、例を解くときにどのようにして特定の値を取得しますか？これには、ニュートン-ライプニッツの公式があります。

統合ソリューションの例

以下では、不定積分と解の例を検討します。ソリューションの複雑さを独自に把握し、不明な点がある場合はコメントで質問することをお勧めします。

資料を統合するには、積分が実際にどのように解決されるかについてのビデオをご覧ください。積分がすぐに与えられなくても落胆しないでください。専門の学生サービスに連絡してください。閉じた表面上で三重または曲線積分を処理できます。

>> >> >> 統合方法

統合の基本的な方法

積分の定義、定積分と不定、積分の表、ニュートン-ライプニッツの公式、部分積分、積分の計算例。

不定積分

u = f（x）およびv = g（x）を連続関数とします。そして、作品によれば、

d（uv））= udv + vduまたはudv = d（uv）-vdu。

式d（uv）の場合、不定積分は明らかにuvになるため、次の式が成り立ちます。

∫udv=uv-∫vdu（8.4。）

この式はルールを表します 部品による統合..。これは、式udv = uv "dxの統合を式vdu = vu" dxの統合にもたらします。

たとえば、∫xcosxdxを見つける必要があるとします。 u = x、dv = cosxdxとすると、du = dx、v = sinxとなります。それで

∫xcosxdx=∫xd（sin x）= xsinx-∫sinxdx= x sin x + cosx + C。

部分積分の規則は、変数置換よりも範囲が限定されています。ただし、∫xkln m xdx、∫xksinbxdx、∫xk cosbxdx、∫xke axなど、部分積分を使用して計算される積分のクラス全体があります。

定積分

統合方法、定積分の概念は次のように導入されます。関数f（x）をセグメントで定義します。セグメント[a、b]を点a = x0でn個の部分に分割します< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δxi= x i-xi-1。 f（ξi）Δxiの形式の和は積分和と呼ばれ、λ=maxΔxi→0での極限が存在し、有限である場合は、次のように呼ばれます。 定積分 aからbまでの関数f（x）であり、次のように表されます。

F（ξi）Δxi（8.5）。

この場合の関数f（x）は呼び出されます セグメントに統合可能、番号aとbは呼ばれます 積分の下限と上限.

統合方法次のプロパティがあります。

最後のプロパティは呼び出されます 平均値の定理.

f（x）をで連続とします。次に、このセグメントには不定積分があります

∫f（x）dx = F（x）+ C

そして起こります ニュートン-ライプニッツの公式、定積分を不定積分に接続する：

F（b）-F（a）。（8.6）

幾何学的解釈：曲線y = f（x）、直線x = aおよびx = b、およびOx軸のセグメントによって上から囲まれた湾曲した台形の領域を表します。

広義積分

無限限界の積分と不連続（非有界）関数の積分は不適切と呼ばれます。 第一種の広義積分-これらは、次のように定義される無限区間の積分です。

(8.7)

この限界が存在し、有限である場合、それは区間[a、+∞）でのf（x）の収束広義積分と呼ばれ、関数f（x）は無限区間[a、+∞で積分可能と呼ばれます。）。それ以外の場合、積分は存在しないか発散していると言われます。

区間（-∞、b]と（-∞、+∞）の広義積分も同様に定義されます。

非有界関数の積分の概念を定義しましょう。 f（x）が無限の不連続性を持つ点cを除いて、セグメントのxのすべての値に対してf（x）が連続である場合、 第2種の広義積分 f（x） aからbの範囲金額と呼ばれる：

これらの制限が存在し、有限である場合。指定：

積分の計算例

例3.30。∫dx/（x + 2）を計算します。

解決。 t = x + 2と表記し、次にdx = dt、∫dx/（x + 2）=∫dt/ t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C。

例3.31..。 ∫tgxdxを見つけます。

解決策：∫tgxdx=∫sinx/ cosxdx =-∫dcosx/ cosx。 t = cosxとすると、∫tgxdx=-∫dt/ t = --ln | t | + C = -ln | cosx | + C。

例3.32 ..。 ∫dx/ sinxを見つける

例3.33. 探す。

解決。 =

例3.34 ..。 ∫arctgxdxを見つけます。

解決。パーツごとに統合します。 u = arctgx、dv = dxに設定します。次に、du = dx /（x 2 +1）、v = x、whence∫arctgxdx=xarctgx-∫xdx/（x 2 +1）= xarctgx + 1/2 ln（x 2 +1）+ C; なぜなら
∫xdx/（x 2 +1）= 1 /2∫d（x 2 +1）/（x 2 +1）= 1/2 ln（x 2 +1）+ C。

例3.35 ..。 ∫lnxdxを計算します。

解決。部分積分の式を適用すると、次のようになります。
u = lnx、dv = dx、du = 1 / x dx、v = x。次に、∫lnxdx=xlnx-∫x1/ x dx =
=xlnx-∫dx+ C = xlnx-x + C。

例3.36 ..。 ∫exsinxdxを評価します。

解決。部分積分の式を適用してみましょう。 u = e x、dv = sinxdx、次にdu = e x dx、v =∫sinxdx=-cosx→∫exsinxdx= --e x cosx +∫excosxdxを示します。 ∫excosxdxは、パーツごとに積分することもできます：u = e x、dv = cosxdx、du = e x dx、v = sinx。我々は持っています：
∫excosxdx= exsinx-∫exsinxdx。 ∫exsinxdx= --e x cosx + exsinx-∫exsinxdx、wherece2∫exsinxdx = --e x cosx + e x sinx +Сの関係が得られました。

例 3.37. J =∫cos（lnx）dx / xを計算します。

解決策：dx / x = dlnxなので、J =∫cos（lnx）d（lnx）。 lnxをtに置き換えると、表形式の積分J =∫costdt= sint + C = sin（lnx）+ Cに到達します。

例 3.38 ..。 J =を計算します。

解決。 = d（lnx）を考慮して、lnx = tに置き換えます。次にJ = .

例 3.39 ..。 J =を計算します .

解決。我々は持っています： ..。それが理由です =

定積分を解く方法を学ぶには、次のことを行う必要があります。

1）できる探す不定積分。

2）できる計算する定積分。

ご覧のとおり、定積分を習得するには、「通常の」定積分に精通している必要があります。したがって、積分計算に没頭し始めたばかりで、やかんがまったく沸騰していない場合は、レッスンから始めることをお勧めします。 不定積分。ソリューションの例.

一般に、定積分は次のように記述されます。

不定積分と比較して何が増加しましたか？追加しました 統合の制限.

統合の下限
統合の上限標準として文字で示されます。
セグメントは呼ばれます 統合のセグメント.

実際の例に移る前に、定積分についてのちょっとした「fakyu」。

定積分とは何ですか？セグメントの仕切りの直径や積分和の限界などはお伝えできますが、実践的なレッスンです。したがって、定積分はNUMBERであると言えます。はい、それは最も普通の数です。

定積分には幾何平均がありますか？がある。そしてとても良いです。最も人気のあるタスクは 定積分を使用して面積を計算する.

定積分を解くとはどういう意味ですか？定積分を解くことは、数を見つけることを意味します。

定積分を解く方法は？学校からおなじみのニュートン-ライプニッツの公式の助けを借りて：

別の紙に数式を書き直すことをお勧めします。レッスン全体を通して目の前にある必要があります。

定積分を解く手順は次のとおりです。

1）まず、不定積分（不定積分）を見つけます。定積分の定数に注意してください 追加されたことはありません..。この指定は純粋に技術的なものであり、縦棒には数学的な意味はありません。実際、それは単なる下線です。なぜ録音自体が必要なのですか？ニュートン-ライプニッツ公式の適用の準備。

2）不定積分関数の上限値を代入します。

3）不定積分関数の下限値を代入します。

4）（エラーなしで！）差を計算します。つまり、数値を見つけます。

定積分は常に存在しますか？常にではありません。

たとえば、積分の間隔が被積分関数の定義域に含まれていないため、積分は存在しません（平方根の下の値を負にすることはできません）。あまり明白ではない例を次に示します。接線はセグメントの点に存在しないため、このような積分も存在しません。ちなみに、まだ教材を読んでいない方 初等関数のグラフと基本特性-今それをする時が来ました。高等数学の全コースを通して助けることは素晴らしいことです。

定積分が存在するためには、積分の間隔で被積分関数が連続である必要があります。

上記から、最初の重要な推奨事項は次のとおりです。定積分の解を進める前に、被積分関数が 統合の間隔で連続している..。学生の頃、難しい原始人を見つけるのに長い間苦しめられていた事件が何度もあり、ついにそれを見つけたとき、もう一つ質問に戸惑いました。「どんなナンセンスが出てきたの？」。簡略化されたバージョンでは、状況は次のようになります。

???!!!

ルートの下に負の数を代入することはできません！

解決策（テスト、テスト、試験）の場合、次のような存在しない積分が提供されます。

次に、積分が存在しないと答え、その理由を正当化する必要があります。

定積分を負にすることはできますか？多分。そして負の数。そしてゼロ。無限大になることもありますが、すでに無限大になります 広義積分、別の講義専用です。

統合の下限を統合の上限より大きくすることはできますか？たぶん、この状況は実際に実際に発生します。

-積分は、ニュートン-ライプニッツの公式によって簡単に計算されます。

高等数学はそれなしで何ができるでしょうか？もちろん、あらゆる種類のプロパティはありません。したがって、定積分のいくつかの特性を検討します。

定積分では、符号を変更することで上限と下限を再配置できます。

たとえば、定積分では、積分の前に、積分の限界を「通常の」順序に変更することをお勧めします。

-この形式で統合する方がはるかに便利です。

定積分に関しては、線形性プロパティは定積分に対して有効です。

-これは、2つだけでなく、任意の数の関数にも当てはまります。

定積分では、実行することができます 積分変数の変更ただし、不定積分と比較すると、これには独自の詳細があります。これについては後で説明します。

定積分は 部品式による統合:

例1

解決：

（1）定数を積分記号の外側に移動します。

（2）最も一般的な式を使用してテーブルを統合します ..。表示されている定数を括弧から分離し、括弧の外に配置することをお勧めします。これを行う必要はありませんが、望ましいです-なぜ不必要な計算ですか？

（3）ニュートン-ライプニッツの公式を使用します

最初に上限を代入し、次に-下限を代入します。さらに計算を行い、最終的な答えを得ます。

例2

定積分を計算する

これは、チュートリアルの最後にある自己解決、解決策、および回答の例です。

タスクを少し複雑にしましょう。

例3

定積分を計算する

解決：

（1）定積分の線形性を使用します。

（2）すべての定数を取り出しながら、テーブルを統合します。これらは、上限と下限の置換には関与しません。

（3）3つの項のそれぞれについて、ニュートン-ライプニッツの公式を適用します。

定積分の弱いリンクは、計算エラーであり、一般的な記号の混乱です。気をつけて！私は第3期に特別な注意を向けます：

-不注意によるミスのヒットパレードの最初の場所、非常に頻繁に彼らは自動的に書く

（特に、上限と下限の置換が口頭で行われ、そのように詳細に書かれていない場合）。上記の例をもう一度注意深く調べてください。

定積分を解くために考慮されている方法だけではないことに注意してください。ある程度の経験があれば、ソリューションを大幅に減らすことができます。たとえば、私自身、次のような積分を解くことに慣れています。

ここでは、線形性のルールを口頭で使用し、テーブル上で口頭で統合しました。制限が削除された括弧が1つだけになりました。

（最初の方法の3つの括弧とは対照的に）。そして、「全体の」不定積分関数では、最初に4を代入し、次に–2を代入して、再び頭の中ですべてのアクションを実行しました。

短いソリューションの欠点は何ですか？ここのすべては計算の合理性の観点からはあまり良くありませんが、個人的には気にしません-私は電卓で通常の分数を数えます。
さらに、計算でエラーが発生するリスクが高くなるため、ダミーの生徒は最初の方法を使用することをお勧めします。「私の」ソリューションでは、どこかで記号が失われます。

2番目の方法の疑いのない利点は、ソリューションの速度、記録のコンパクトさ、および不定積分であるという事実です。

1つの括弧内にあります。

積分とは何ですか？この質問に自分で答えてみてください。

積分のトピックを説明して、教師は学校の心にほとんど役に立たない領域をリストします。その中で：

図の面積を計算します。
不均一な密度の体重の計算。
一貫性のない速度で移動するときに移動した距離の決定。
や。。など。

これらすべてのプロセスをつなぐことが常に可能であるとは限らないため、積分を理解するための基本的な知識をすべて持っていても、多くの学生は混乱します。

知らない主な理由-積分の実際的な重要性についての理解の欠如。

インテグラル-それは何ですか？

前提条件..。統合の必要性は古代ギリシャで起こりました。その時、アルキメデスは円の面積を見つけるための方法を使い始めました。それは本質的に現代の積分計算に似ています。当時の不均一な数字の面積を決定するための主なアプローチは、理解するのに十分簡単な取り尽くし法でした。

メソッドエッセンス..。他の図の単調なシーケンスがこの図に内接し、次にそれらの領域のシーケンスの限界が計算されます。この制限は、この図の領域として採用されました。

この方法では、無限の合計の限界を見つけることからなる積分微積分のアイデアを簡単にたどることができます。その後、このアイデアは科学者によって解決するために使用されました 適用されたタスク宇宙工学、経済学、力学など。

現代の積分..。統合の古典的な理論は、ニュートンとライプニッツによって一般的な用語で定式化されました。それは当時存在していた微分学の法則に依存していました。それを理解するには、数学言語で積分についての視覚的で直感的なアイデアを説明するのに役立ついくつかの基本的な知識が必要です。

「インテグラル」の概念を説明する

導関数を見つけるプロセスはと呼ばれます 差別化、そして不定積分を見つけることは統合.

積分 数学言語-これは、関数の不定積分（導関数の前にあったもの）+定数「C」です。
積分 簡単な言葉で湾曲した図形の領域です。不定積分-全領域。定積分は、特定の領域内の領域です。

積分は次のように記述されます。

各被積分関数は「dx」コンポーネントで乗算されます。どの変数が統合されているかを示します。「Dx」は引数の増分です。 t（時間）など、他の引数をXの代わりに使用できます。

不定積分

不定積分には積分の境界がありません。

不定積分を解くには、被積分関数の不定積分を見つけて、それに「C」を追加するだけで十分です。

定積分

定積分では、制限「a」と「b」が積分記号に書かれています。それらは下のグラフのX軸に示されています。

定積分を計算するには、不定積分を見つけ、それに値「a」と「b」を代入して、差を見つける必要があります。数学では、これは ニュートン-ライプニッツの公式による:

学生のための積分表（基本式）

積分の公式をダウンロードしてください、それらはまだあなたに役立ちます

積分を正しく計算する方法

積分を変換するためのより簡単な操作がいくつかあります。主なものは次のとおりです。

積分記号から定数を削除する

合計の積分の積分の合計への分解

aとbを入れ替えると、符号が変わります

積分は次のように区間に分割できます

これらは最も単純な特性であり、これに基づいて、より複雑な定理と微積分の方法が後で定式化されます。

積分の計算例

不定積分解

定積分の解

トピックを理解するための基本的な概念

統合の本質を理解し、誤解からページを閉じないようにするために、いくつかの基本的な概念について説明します。関数、導関数、制限、および不定積分とは何ですか。

関数-あるセットのすべての要素が別のセットのすべての要素に関連付けられるルール。

デリバティブ-特定の各ポイントでの別の関数の変化率を表す関数。厳密に言えば、これは引数の増分に対する関数の増分の比率の制限です。手動で計算されますが、ほとんどの標準関数を含む派生テーブルを使用する方が簡単です。

インクリメント-引数の変更を伴う関数の量的変更。

制限-引数が特定の値になりがちな場合に、関数の値が傾向にある値。

制限の例：Xが1に等しい場合、Yは2に等しくなります。しかし、Xが1に等しくなく、1になりがちな場合、つまり、Xがそれに到達しない場合はどうなるでしょうか。この場合、yが2に達することはありませんが、この値になる傾向があります。数学言語では、次のように記述されます。limY（X）、X-> 1 = 2の場合。次のように記述されます。xが1になる傾向があるため、関数Y（X）の極限は2です。

すでに述べたように、導関数は別の関数を記述する関数です。元の関数は、他の関数の派生物にすることができます。この他の関数は呼び出されます 不定積分.

結論

積分を見つけることは難しくありません。これを行う方法がわからない場合は、。 2回目はより明確になります。 覚えて！積分の解は、被積分関数の単純な変換とでの検索に還元されます。

テキストによる説明が適切でない場合は、積分と導関数の意味に関するビデオをご覧ください。

積分-それは何ですか、それを解決する方法、解決策の例とダミーのための説明更新日：作者による2019年11月22日：科学記事.Ru

「数学」と呼ばれる科学で積分を解くプロセスは、積分と呼ばれます。統合の助けを借りて、あなたはいくつかの物理量を見つけることができます：面積、体積、体の質量など。

積分は不定であり、明確です。定積分の形を考えて、その物理的意味を理解してみてください。これは次のように表されます：$$ \ int ^ a _b f（x）dx $$。定積分を不定積分から書く際の特徴は、aとbの積分に限界があることです。ここで、それらが何のためにあるのか、そして定積分がまだ何を意味するのかを調べます。幾何学的な意味で、そのような積分は、曲線f（x）、線aとb、およびOx軸で囲まれた図形の面積に等しくなります。

図1は、定積分が灰色で網掛けされた領域そのものであることを示しています。簡単な例でチェックしてみましょう。下の画像で積分を使用して図の面積を見つけ、長さを幅で乗算する通常の方法で計算してみましょう。

図2は、$ y = f（x）= 3 $、$ a = 1、b = 2 $であることを示しています。ここで、それらを積分の定義に代入すると、$$ S = \ int _a ^ bf（x）dx = \ int _1 ^ 2 3 dx = $$ $$ =（3x）\ Big | _1 ^ 2が得られます。 =（3 \ cdot 2）-（3 \ cdot 1）= $$ $$ = 6-3 = 3 \ text（units）^ 2 $$通常の方法で確認しましょう。この場合、長さ= 3、形状の幅= 1です。$$ S = \テキスト（長さ）\ cdot \テキスト（幅）= 3 \ cdot 1 = 3 \テキスト（単位）^ 2 $$ご覧のとおり、すべてが完全に一致しました...

疑問が生じます：不定積分をどのように解くか、そしてそれらの意味は何ですか？このような積分の解は、不定積分関数の発見です。このプロセスは、導関数を見つけることの反対です。不定積分を見つけるには、数学の問題を解決するために私たちの助けを借りることができます。または、積分の性質と最も単純な初等関数の積分表を正確に覚えておく必要があります。検索は次のようになります$$ \ int f（x）dx = F（x）+ C \ text（where）F（x）$は$ f（x）、C = const $の不定積分です。

積分を解くには、変数に関して関数$ f（x）$を積分する必要があります。関数が表形式の場合、回答は適切な形式で記述されます。そうでない場合、プロセスは、数学的変換を狡猾にすることにより、関数$ f（x）$からテーブル関数を取得することになります。これにはさまざまな方法とプロパティがあり、次に検討します。

では、ダミーの積分を解く方法をアルゴリズムで構成しましょう。

積分を計算するためのアルゴリズム

定積分を知っているかどうか。
定義されていない場合は、関数$ f（x）$を表形式にする数学変換を使用して、被積分関数$ f（x）$の不定積分関数$ F（x）$を見つける必要があります。
明確な場合は、ステップ2を実行してから、不定積分関数$ F（x）$で$ a $と$ b $の制限を置き換える必要があります。記事「ニュートン-ライプニッツの公式」で、これを行うための公式を学びます。