直線間の鋭角を決定します。 平面上の直線に関する最も単純な問題

\(\blacktriangleright\) 二面角は、2 つの半平面と、それらの共通の境界である直線 \(a\) によって形成される角度です。

\(\blacktriangleright\) 平面 \(\xi\) と \(\pi\) の間の角度を見つけるには、直線角 (および 辛いまたは 真っ直ぐ) 平面 \(\xi\) と \(\pi\) によって形成される二面角：

ステップ 1: \(\xi\cap\pi=a\) (平面の交線) とします。 平面 \(\xi\) 内で任意の点 \(F\) をマークし、 \(FA\perp a\) を描きます。

ステップ 2: \(FG\perp \pi\) を実行します。

ステップ 3: TTP (\(FG\) – 垂直、\(FA\) – 斜め、\(AG\) – 投影) によれば、次のようになります。

ステップ 4: 角度 \(\angle FAG\) は、平面 \(\xi\) と \(\pi\) によって形成される二面角の直線角と呼ばれます。

三角形 \(AG\) が直角であることに注意してください。
この方法で構築された平面 \(AFG\) は、 \(\xi\) と \(\pi\) の両方の平面に対して垂直であることにも注意してください。 したがって、別の言い方もできます。 平面間の角度\(\xi\) と \(\pi\) は、 \(\xi\ に垂直な平面を形成する 2 本の交差する線 \(c\in \xi\) と \(b\in\pi\) の間の角度です。 ) 、および \(\pi\) 。

タスク 1 #2875

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

すべての辺が等しく、底辺が正方形である四角錐が与えられます。 \(6\cos \alpha\) を見つけます。ここで \(\alpha\) は隣接する側面の間の角度です。

\(SABCD\) を、辺が \(a\) に等しい特定のピラミッド (\(S\) は頂点) とします。 したがって、すべての側面は等しい正三角形になります。 面 \(SAD\) と \(SCD\) の間の角度を求めてみましょう。

\(CH\perp SD\) をやってみましょう。 なぜなら \(\三角 SAD=\三角 SCD\)の場合、 \(AH\) は \(\triangle SAD\) の高さにもなります。 したがって、定義により、 \(\angle AHC=\alpha\) は、面 \(SAD\) と \(SCD\) の間の二面角の直線角になります。
底辺は正方形なので、 \(AC=a\sqrt2\) となります。 \(CH=AH\) は辺 \(a\) を持つ正三角形の高さであるため、 \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) であることにも注意してください。
次に、 \(\triangle AHC\) のコサイン定理により次のようになります。 \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

答え: -2

タスク 2 #2876

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) は、コサインが \(0.2\) に等しい角度で交差します。 平面 \(\pi_2\) と \(\pi_3\) は直角に交差し、平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) の交線は、平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) の交線と平行です。平面 \(\pi_2\) と \(\ pi_3\) 。 平面 \(\pi_1\) と \(\pi_3\) の間の角度の正弦を求めます。

\(\pi_1\) と \(\pi_2\) の交線を直線 \(a\) とし、\(\pi_2\) と \(\pi_3\) の交線を直線とします直線 \(b\) 、および交線 \(\pi_3\) と \(\pi_1\) – 直線 \(c\) 。 \(a\平行 b\) なので、 \(c\平行 a\平行 b\) (理論参考文献「空間における幾何学」のセクションの定理によると \(\rightarrow\) 「立体測定の概要」並列処理」)。

\(AB\perp a, AB\perp b\) となるように点 \(A\in a, B\in b\) をマークしましょう (これは \(a\Parallel b\) なので可能です)。 \(C\in c\) を \(BC\perp c\) 、したがって \(BC\perp b\) となるようにマークしましょう。 次に \(AC\perp c\) と \(AC\perp a\) です。
確かに、 \(AB\perp b, BC\perp b\) なので、 \(b\) は平面 \(ABC\) に垂直です。 \(c\平行 a\平行 b\) であるため、線 \(a\) と \(c\) は平面 \(ABC\) にも垂直であり、したがってこの平面からの任意の直線、特に、行 \ (AC\) 。

したがって、 \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\角度ABC=\角度(\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\角度 BCA=\角度 (\pi_3, \pi_1)\)。 \(\triangle ABC\) は長方形であることがわかります。つまり、 \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

答え: 0.2

タスク 3 #2877

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

直線 \(a, b, c\) が 1 点で交差し、そのうちの 2 つの間の角度が \(60^\circ\) に等しいとします。 \(\cos^(-1)\alpha\) を求めます。 \(\alpha\) は、線 \(a\) と \(c\) によって形成される平面と線 \( b\ ) と \(c\) 。 度数で答えてください。

線が点 \(O\) で交差するようにします。 そのうちの 2 つの直線の間の角度は \(60^\circ\) に等しいため、3 つの直線すべてが同じ平面上に存在することはできません。 直線 \(a\) 上の点 \(A\) をマークし、 \(AB\perp b\) と \(AC\perp c\) を描きます。 それから \(\三角 AOB=\三角 AOC\)斜辺と鋭角に沿った長方形として。 したがって、 \(OB=OC\) および \(AB=AC\) となります。
\(AH\perp (BOC)\) を実行しましょう。 次に、3 つの垂線 \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) に関する定理によります。 \(AB=AC\) なので、 \(\三角 AHB=\三角 AHC\)斜辺と脚に沿った長方形として。 したがって、 \(HB=HC\) となります。 これは、 \(OH\) が角 \(BOC\) の二等分線であることを意味します (点 \(H\) が角の辺から等距離にあるため)。

この方法で、線 \(a\) と \(c\) によって形成される平面と、線 \(b\) と \(c \) 。 これは角度 \(ACH\) です。

この角度を見つけてみましょう。 点 \(A\) を任意に選択したので、 \(OA=2\) となるように選択しましょう。 次に、長方形 \(\triangle AOC\) で次のようにします。 \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ 】\(OH\) は二等分線なので、 \(\angle HOC=30^\circ\) 、したがって、長方形 \(\triangle HOC\) になります。 \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]次に、長方形 \(\triangle ACH\) から: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

答え: 3

タスク 4 #2910

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) は、点 \(M\) と \(N\) が存在する直線 \(l\) に沿って交差します。 線分 \(MA\) と \(MB\) は直線 \(l\) に垂直で、それぞれ平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) 内にあり、\(MN = 15) \) 、 \(AN = 39\) 、 \(BN = 17\) 、 \(AB = 40\) 。 \(3\cos\alpha\) を見つけます。ここで、 \(\alpha\) は平面 \(\pi_1\) と \(\pi_2\) の間の角度です。

三角形 \(AMN\) は直角です、 \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) です。 \ 三角形 \(BMN\) は直角です、\(BN^2 = BM^2 + MN^2\) で、そこから \(AMB\) のコサイン定理を書きます。 \ それから \ 平面間の角度 \(\alpha\) は鋭角であり、 \(\angle AMB\) は鈍角であることが判明したため、 \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) となります。 それから \

答え: 1.25

タスク 5 #2911

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) は直方体、\(ABCD\) は辺 \(a\) を持つ正方形、点 \(M\) は点 \(A_1\) から平面 \ に下ろした垂線の底辺です。 ((ABCD)\) に加えて、 \(M\) は正方形 \(ABCD\) の対角線の交点です。 と知られている \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\)。 平面 \((ABCD)\) と \((AA_1B_1B)\) の間の角度を見つけます。 度数で答えてください。

図のように \(AB\) に垂直な \(MN\) を作図しましょう。

\(ABCD\) は辺 \(a\) と \(MN\perp AB\) および \(BC\perp AB\) を持つ正方形なので、 \(MN\平行 BC\) になります。 \(M\) は正方形の対角線の交点であるため、 \(M\) は \(AC\) の中心、したがって \(MN\) は中心線となり、 \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) は \(A_1N\) の平面 \((ABCD)\) への投影であり、\(MN\) は \(AB\) に垂直であるため、3 つの垂線の定理により、 \ (A_1N\) は \(AB \) に垂直で、平面 \((ABCD)\) と \((AA_1B_1B)\) の間の角度は \(\angle A_1NM\) です。
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

答え: 60

タスク 6 #1854

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

正方形 \(ABCD\) : \(O\) – 対角線の交点。 \(S\) – 正方形 \(SO \perp ABC\) の平面内にありません。 \(SO = 5\) と \(AB = 10\) の場合、平面 \(ASD\) と \(ABC\) の間の角度を求めます。

直角三角形 \(\triangle SAO\) と \(\triangle SDO\) は、2 つの辺とそれらの間の角度が等しい (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\角度SOA = \角度SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) 、なぜなら \(O\) – 正方形の対角線の交点、\(SO\) – 共通辺) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\ ) – 二等辺。 点 \(K\) は \(AD\) の中点、\(SK\) は三角形 \(\triangle ASD\) の高さ、\(OK\) は三角形 \( AOD\) \(\ Rightarrow\) 平面 \(SOK\) は平面 \(ASD\) および \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) に垂直です – 直線角度は目的の角度に等しい上反角。

\(\triangle SKO\) の場合: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – 直角二等辺三角形 \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) 。

答え: 45

タスク 7 #1855

タスクレベル: 統一国家試験よりも難しい

正方形 \(ABCD\) : \(O\) – 対角線の交点。 \(S\) – 正方形 \(SO \perp ABC\) の平面内にありません。 \(SO = 5\) と \(AB = 10\) の場合、平面 \(ASD\) と \(BSC\) の間の角度を求めます。

直角三角形 \(\triangle SAO\) 、 \(\triangle SDO\) 、 \(\triangle SOB\) 、および \(\triangle SOC\) は、2 つの辺とそれらの間の角度が等しい (\(SO \perp ABC \) \(\ライトアロー\) \(\角度SOA = \角度SOD = \角度SOB = \角度SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\)、なぜなら \(O\) – 正方形の対角線の交点、\(SO\) – 共通辺) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) と \(\triangle BSC\) は二等辺です。 点 \(K\) は \(AD\) の中点、\(SK\) は三角形 \(\triangle ASD\) の高さ、\(OK\) は三角形 \( AOD\) \(\ Rightarrow\) 平面 \(SOK\) は平面 \(ASD\) に垂直です。 点 \(L\) は \(BC\) の中点、\(SL\) は三角形 \(\triangle BSC\) の高さ、\(OL\) は三角形 \( BOC\) \(\ Rightarrow\) 平面 \(SOL\) (別名平面 \(SOK\)) は平面 \(BSC\) に垂直です。 したがって、 \(\angle KSL\) が目的の 2 面角に等しい直線角であることがわかります。

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – 等しい二等辺三角形の高さ。ピタゴラスの定理を使用して求めることができます。 \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\)。 気づくことができるのは、 \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) 三角形 \(\triangle KSL\) については、逆ピタゴラスの定理が成り立ちます \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – 直角三角形 \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) 。

答え: 90

数学の統一州試験を受ける生徒の準備は、原則として、平面間の角度を決定できる公式を含む基本的な公式を繰り返すことから始まります。 幾何学のこのセクションは学校のカリキュラム内で十分に詳細にカバーされているという事実にもかかわらず、多くの卒業生は基本的な内容を繰り返す必要があります。 平面間の角度の求め方を理解すれば、高校生は問題を解くときに正しい答えをすぐに計算できるようになり、州統一試験に合格するという結果でまともなスコアを獲得できるようになります。

主なニュアンス

二面角の求め方の問題が問題にならないように、統一国家試験のタスクに対処するのに役立つ解決アルゴリズムに従うことをお勧めします。

まず、平面が交差する直線を決定する必要があります。

次に、この線上の点を選択し、それに 2 本の垂線を引く必要があります。

次のステップは、垂線によって形成される二面角の三角関数を見つけることです。 これを行う最も便利な方法は、角度がその一部である結果として得られる三角形を利用することです。

答えは角度またはその三角関数の値になります。

Shkolkovo の試験テストの準備が成功の鍵です

統一国家試験合格前夜の授業中に、多くの学童は 2 つの平面間の角度を計算できる定義と公式を見つけるという問題に直面します。 学校の教科書は、必要なときにいつでも手元にあるわけではありません。 また、インターネット上の平面間の角度を求めるなど、必要な公式とその正しい応用例を見つけるには、場合によっては多くの時間を費やす必要があります。

Shkolkovo 数学ポータルは、州試験の準備に対する新しいアプローチを提供します。 私たちのウェブサイト上のクラスは、学生が自分で最も難しいセクションを特定し、知識のギャップを埋めるのに役立ちます。

私たちは必要な資料をすべて準備し、明確に提示しました。 基本的な定義と公式は「理論情報」セクションに記載されています。

内容をより深く理解するために、適切な演習を行うことをお勧めします。 「カタログ」セクションには、さまざまな複雑さのタスクの幅広い選択肢が表示されます。 すべてのタスクには、正解を見つけるための詳細なアルゴリズムが含まれています。 ウェブサイト上の演習リストは常に追加され、更新されます。

2 つの平面間の角度を見つける必要がある問題を解く練習をしている間、生徒はタスクを「お気に入り」としてオンラインに保存することができます。 これにより、必要な回数だけ戻って、学校の先生や家庭教師と解決の進捗状況について話し合うことができます。

意味。 2 本の直線 y = k 1 x + b 1、y = k 2 x + b 2 が与えられた場合、これらの直線の間の鋭角は次のように定義されます。

k 1 = k 2 の場合、2 本の直線は平行になります。 k 1 = -1/k 2 の場合、2 本の直線は垂直になります。

定理。係数 A 1 = λA、B 1 = λB が比例する場合、直線 Ax + Bу + C = 0 および A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 は平行になります。 C 1 = λC の場合も、線は一致します。 2 本の直線の交点の座標は、これらの直線の方程式系の解として求められます。

与えられた点を通る直線の方程式

指定された線に垂直

意味。点 M 1 (x 1, y 1) を通り、直線 y = kx + b に垂直な直線は次式で表されます。

点から線までの距離

定理。点 M(x 0, y 0) が与えられた場合、直線 Ax + Bу + C = 0 までの距離は次のように求められます。

.

証拠。点 M 1 (x 1, y 1) を、点 M から所定の直線に下ろした垂線の底辺とする。 次に、点 M と M 1 の間の距離は次のようになります。

(1)

座標 x 1 と y 1 は、連立方程式を解くことで求められます。

システムの 2 番目の方程式は、所与の点 M 0 を通過し、所与の線に垂直な線の方程式です。 システムの最初の方程式を次の形式に変換すると、次のようになります。

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0、

次に解くと、次のようになります。

これらの式を式 (1) に代入すると、次のことがわかります。

定理は証明されました。

例。 線間の角度を決定します: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1。

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4。

例。 直線 3x – 5y + 7 = 0 と 10x + 6y – 3 = 0 が垂直であることを示します。

解決。 k 1 = 3/5、k 2 = -5/3、k 1* k 2 = -1、したがって、線は垂直であることがわかります。

例。 三角形の頂点 A(0; 1)、B (6; 5)、C (12; -1) が与えられます。 頂点 C から引かれた高さの方程式を求めます。

解決。 辺 AB の方程式を求めます。 ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

必要な高さの式は、Ax + By + C = 0 または y = kx + b の形式になります。 k = 。 次に、 y = です。 なぜなら 高さが点 C を通過すると、その座標は次の方程式を満たします。 b = 17 から。合計: 。

答え: 3 x + 2 y – 34 = 0。

指定された点を指定された方向に通過する直線の方程式。 指定された 2 つの点を通過する直線の方程式。 2 本の直線の間の角度。 2本の直線の平行度、直角度の状態。 2 本の線の交点の決定

1. 与えられた点を通る直線の方程式 あ(バツ 1 , y 1) 傾きによって決まる特定の方向に k,

y - y 1 = k(バツ - バツ 1). (1)

この方程式は、点を通過する線の鉛筆を定義します。 あ(バツ 1 , y 1)、これはビーム中心と呼ばれます。

2. 2 点を通る直線の方程式: あ(バツ 1 , y 1) そして B(バツ 2 , y 2)、次のように書きます。

指定された 2 点を通過する直線の角度係数は、次の式で求められます。

3. 直線間の角度 あそして B最初の直線を回転する必要がある角度です あこれらの線の交点の周囲を反時計回りに、2 番目の線と一致するまで回転させます。 B。 2 本の直線が傾きのある方程式で与えられる場合

y = k 1 バツ + B 1 ,

y = k 2 バツ + B 2 , (4)

それらの間の角度は次の式で決定されます。

分数の分子では、最初の直線の傾きが 2 番目の直線の傾きから減算されることに注意してください。

直線の方程式が一般形式で与えられる場合

あ 1 バツ + B 1 y + C 1 = 0,

あ 2 バツ + B 2 y + C 2 = 0, (6)

それらの間の角度は次の式で決まります。

4. 2 つのラインが平行になる条件:

a) 直線が角度係数を伴う方程式 (4) で与えられる場合、それらの平行度の必要十分条件は角度係数が等しいことです。

k 1 = k 2 . (8)

b) 直線が一般形式 (6) の方程式で与えられる場合、それらの平行度の必要十分条件は、方程式内の対応する現在の座標の係数が比例することです。

5. 2 つの直線が垂直になる条件:

a) 直線が角度係数を伴う式 (4) で与えられる場合、直線の垂直性の必要十分条件は、角度係数の大きさが逆で符号が逆であることです。

この条件は次の形式でも書くことができます。

k 1 k 2 = -1. (11)

b) 直線の方程式が一般形式 (6) で与えられる場合、直線の垂直性 (必要かつ十分) の条件は次の等式を満たすことです。

あ 1 あ 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. 2 本の直線の交点の座標は、連立方程式 (6) を解くことによって求められます。 線 (6) は次の場合にのみ交差します。

1. 点 M を通過する直線の方程式を書きます。一方は指定された直線 l に対して平行で、もう一方は垂直です。

この記事では、平面間の角度を求める方法について説明します。 定義を与えた後、図を示し、その方法を使用して座標を求める詳細な方法を検討します。 法線ベクトルの座標を含む、交差する平面の式を取得します。

この資料では、空間内の平面と線に関する記事で以前に研究されたデータと概念が使用されます。 まず、交差する 2 つの平面間の角度を決定するための特定のアプローチを可能にする推論に進む必要があります。

２つの交差平面γ １ およびγ ２ が与えられる。 それらの交差点は c と指定されます。 χ 平面の構築は、これらの平面の交差に関連付けられます。 平面 χ は点 M を直線 c として通ります。 平面γ 1 と平面γ 2 の交点は、平面χを使用して作成されます。 γ 1 とχと交差する線を線a、γ 2 とχと交差する線を線bとします。 線分aと線bの交点が点Mを与えることがわかります。

点 M の位置は、交差する線 a と b の間の角度に影響を与えず、点 M は平面 χ が通過する線 c 上に位置します。

線ｃに垂直で、平面χとは異なる平面χ 1 を構築する必要がある。 χ 1 を利用した平面 γ 1 と γ 2 の交差は、線 a 1 および b 1 で表されます。

χ と χ 1 を作成するとき、線 a と b は線 c に垂直であり、a 1 と b 1 は線 c に垂直に位置することがわかります。 平面 γ 1 上で直線 c に垂直な直線 a と a 1 を見つけると、それらは平行であると考えることができます。 同様に、直線ｃに垂直なγ ２ 平面内のｂとｂ １ の位置は、それらの平行度を示す。 これは、平面 χ 1 を χ に平行移動する必要があることを意味します。そこでは、一致する 2 つの直線 a と a 1、b と b 1 が得られます。 交線 a と b の間の角度 1 は、交線 a と b の角度に等しいことがわかります。

下の図を見てみましょう。

この命題は、交線aとbの間に点M、つまり交点の位置に依存しない角度が存在するという事実によって証明されます。 これらの線は、平面 γ 1 および γ 2 にあります。 実際、結果として得られる角度は、2 つの交差する平面間の角度と考えることができます。

既存の交差平面 γ 1 と γ 2 の間の角度の決定に進みましょう。

定義 1

2 つの交差する平面間の角度 γ 1 と γ 2この角度は、線aとbの交点によって形成される角度と呼ばれ、平面γ 1 およびγ 2 は、線cに垂直な平面χと交差します。

以下の図を考えてみましょう。

決定は別の形式で提出される場合があります。 平面 γ 1 と γ 2 が交差するとき (c はそれらが交差する線)、点 M をマークし、そこを通って線 c に垂直で平面 γ 1 と γ 2 内にある線 a と b を引きます。線aとbは平面間の角度になります。 実際には、これは平面間の角度を構築するために適用できます。

交差する場合、値が 90 度未満の角度が形成されます。つまり、角度の度単位はこのタイプの間隔 (0, 90] で有効です。同時に、これらの平面は次の場合に垂直と呼ばれます)交差部分では直角が形成され、平行な面間の角度はゼロとみなします。

交差する平面間の角度を見つける通常の方法は、追加の構築を実行することです。 これは、三角形の等価または相似の符号、角度のサイン、コサインを使用して正確に決定するのに役立ちます。

ブロック C 2 の統一州試験の問題を例にして、問題の解決を考えてみましょう。

例1

直方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (辺 A B = 2、A D = 3、A A 1 = 7) が与えられると、点 E は辺 A A 1 を 4:3 の比率で分割します。 平面 A B C と B E D 1 の間の角度を見つけます。

解決

明確にするために、図面を作成する必要があります。 それはわかります

平面間の角度をより便利に操作するには、視覚的な表現が必要です。

平面 A B C と B E D 1 が交差する直線を決定します。 点Bは共通点です。 別の共通の交差点が見つかるはずです。 同じ平面 A D D 1 上にある直線 D A と D 1 E を考えてみましょう。 それらの位置は平行性を示すものではなく、共通の交点があることを意味します。

ただし、直線 D A は平面 A B C にあり、D 1 E は B E D 1 にあります。 これから直線が得られます ダ・アそして D1Eには共通の交点があり、これは平面 A B C と B E D 1 に共通です。 線の交点を示します ダ・アそしてD1E 文字F。 これから、B F は平面 A B C と B E D 1 が交差する直線であることがわかります。

下の図を見てみましょう。

答えを得るには、直線 B F 上に位置する点を通り、それに垂直な平面 A B C および B E D 1 内に位置する直線を作成する必要があります。 次に、これらの直線間の結果として得られる角度が、平面 A B C と B E D 1 の間の望ましい角度と見なされます。

このことから、点 A は点 E を平面 A B C に投影したものであることがわかります。点 M で線 B F と直角に交わる直線を引く必要があります。直線 A M が投影であることがわかります。これらの垂線 A M ⊥ B F に関する定理に基づいて、直線 E M を平面 A B C 上に投影します。 下の図を考えてみましょう。

∠ A M E は、平面 A B C と B E D 1 によって形成される目的の角度です。 結果として得られる三角形 A E M から、角度のサイン、コサイン、またはタンジェントを求め、その後、その 2 つの辺がわかっている場合に限り、角度自体を求めることができます。 条件により、長さ A E は次のように求められます。直線 A A 1 は点 E で 4:3 の比率で分割されます。これは、直線の全長が 7 部分であることを意味し、A E = 4 部分になります。 A.M.を見つけます。

直角三角形A B Fを考える必要があります。 高さ A M の直角 A があります。条件 A B = 2 から、三角形 D D 1 F と A E F の相似性によって長さ A F を求めることができます。 A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4 がわかります。

ピタゴラスの定理を使って三角形A B F の辺B F の長さを求める必要があります。 B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 が得られます。 辺A M の長さは、三角形A B Fの面積を通して求められます。 面積は S A B C = 1 2 · A B · A F と S A B C = 1 2 · B F · A M の両方に等しくなり得ることがわかります。

A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5 がわかります。

次に、三角形 A E M の角度の正接の値を見つけることができます。次の結果が得られます。

t g ∠ AM E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

平面 A B C と B E D 1 の交差によって得られる目的の角度は、 a r c t g 5 に等しいため、単純化すると、 a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 が得られます。

答え： a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 。

交差する線の間の角度を求める場合には、座標平面 O x y z と座標方法を使用して指定する場合があります。 詳しく見てみましょう。

交差する平面 γ 1 と γ 2 の間の角度を見つける必要がある問題が与えられた場合、所望の角度を α と表します。

次に、指定された座標系は、交差する平面 γ 1 と γ 2 の法線ベクトルの座標を持っていることを示します。 次に、n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z が平面 γ 1 の法線ベクトルであり、n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - であることを示します。平面γ 2． ベクトルの座標に従って、これらの平面の間に位置する角度を詳細に決定することを考えてみましょう。

平面γ 1 と平面γ 2 が文字 c と交わる直線を指定する必要があります。 直線 c 上に点 M があり、そこを通って c に垂直な平面 χ を描きます。 線 a および b に沿った平面 χ は、点 M で平面 γ 1 および γ 2 と交差します。 この定義から、交差平面γ １ とγ ２ との間の角度は、それぞれこれらの平面に属する交差線ａおよびｂの角度に等しいということになる。

χ 平面では、点 M からの法線ベクトルをプロットし、それらを n 1 → および n 2 → と表します。 ベクトル n 1 → は線 a に垂直な線上に位置し、ベクトル n 2 → は線 b に垂直な線上に位置します。 ここから、指定された平面 χ の線 a の法線ベクトルは n 1 → に等しく、線 b の法線ベクトルは n 2 → に等しいことがわかります。 以下の図を考えてみましょう。

ここから、ベクトルの座標を使用して交差する線の角度の正弦を計算できる式が得られます。 直線 a と b の間の角度の余弦は、交差する平面 γ 1 と γ 2 の間の余弦と同じであることがわかりました。式 cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 から導出されます。 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2、ここで n 1 → = ( n 1 x 、 n 1 y 、 n 1 z) および n 2 → = (n 2 x 、 n 2 y 、 n 2 z) は、表現された平面のベクトルの座標です。

交差する線の間の角度は、次の式を使用して計算されます。

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

例 2

条件に従って、直方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 が与えられます。 , ここで、A B = 2、A D = 3、A A 1 = 7、点 E は辺 A A 1 4:3 を分割します。 平面 A B C と B E D 1 の間の角度を見つけます。

解決

条件から、その辺がペアごとに垂直であることが明らかです。 これは、点 C を頂点とし、座標軸 O x、O y、O z をもつ座標系 O x y z を導入する必要があることを意味します。 方向を適切な側に設定する必要があります。 以下の図を考えてみましょう。

交差する平面 A B Cそして ベッド1式 α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n で求められる角度を形成します。 2 y 2 + n 2 z 2。n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) および n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) は、次の法線ベクトルです。これらの飛行機たち。 座標を決定する必要があります。 この図から、座標軸 O x y が平面 A B C と一致していることがわかります。これは、法線ベクトルの座標 k → が値 n 1 → = k → = (0, 0, 1) に等しいことを意味します。

平面 B E D 1 の法線ベクトルは、ベクトル積 B E → と B D 1 → とみなされます。ここで、それらの座標は、極点 B、E、D 1 の座標によって求められます。これらの座標は、次の条件に基づいて決定されます。問題。

B (0, 3, 0)、D 1 (2, 0, 7) が得られます。 A E E A 1 = 4 3 なので、点 A 2, 3, 0、A 1 2, 3, 7 の座標から E 2, 3, 4 が見つかります。 B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

求めた座標を逆余弦で角度を計算する式に代入する必要があります。 我々が得る

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

座標法でも同様の結果が得られます。

答え： arc cos 6 6 。

最後の問題は、既存の既知の平面方程式を使用して交差する平面間の角度を見つけることを目的として検討されます。

例 3

角度のサイン、コサイン、および 2 本の交差する線によって形成される角度の値を計算します。これらは座標系 O x y z で定義され、方程式 2 x - 4 y + z + 1 = 0 および 3 y - z で与えられます。 - 1 = 0。

解決

A x + B y + C z + D = 0 の形式の一般直線方程式のトピックを研究すると、A、B、C が法線ベクトルの座標に等しい係数であることが判明しました。 これは、n 1 → = 2, - 4, 1 および n 2 → = 0, 3, - 1 が指定された線の法線ベクトルであることを意味します。

平面の法線ベクトルの座標を、交差する平面の望ましい角度を計算する式に代入する必要があります。 それならわかります

α = arc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = arc cos 13 210

ここから、角度の余弦は cos α = 13 210 の形式をとることがわかります。 このとき、交差する線の角度は鈍角ではありません。 三角関数の恒等式に代入すると、角度の正弦の値が式と等しいことがわかります。 計算して求めてみましょう

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

答え： sin α = 41,210、cos α = 13,210、α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210。

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A. 2 つの直線が与えられるとします。これらの直線は、第 1 章で示したように、鋭角または鈍角のさまざまな正および負の角度を形成します。 これらの角度の 1 つを知っていれば、他の角度も簡単に見つけることができます。

ちなみに、これらすべての角度について、接線の数値は同じで、違いは符号のみです。

線の方程式。 数字は 1 番目と 2 番目の直線の方向ベクトルの射影であり、これらのベクトルの間の角度は直線によって形成される角度の 1 つに等しいです。 したがって、問題はベクトル間の角度を決定することになります。

簡単にするために、2 つの直線の間の角度は正の鋭角であることに同意できます (たとえば、図 53 のように)。

この場合、この角度の正接は常に正になります。 したがって、式 (1) の右辺にマイナス記号がある場合は、それを破棄する必要があります。つまり、絶対値のみを保存する必要があります。

例。 直線間の角度を決定する

式(1)によれば、

と。 角度のどの辺が始まりでどちらが終わりであるかが示されている場合、常に反時計回りに角度の方向を数えて、式 (1) からさらに何かを抽出することができます。 図から簡単にわかるように。 図５３において、式（１）の右辺で得られる符号は、２番目の直線が１番目の直線とどのような角度（鋭角か鈍角）を形成するかを示します。

(実際、図 53 から、第 1 方向ベクトルと第 2 方向ベクトルの間の角度は、直線間の目的の角度に等しいか、それと ±180° 異なることがわかります。)

d. 線分が平行であれば、その方向ベクトルも平行です。2 つのベクトルの平行条件を適用すると、次のようになります。

これは 2 つの直線が平行になるための必要十分条件です。

例。 直接

平行しているので、

e. 線が垂直であれば、その方向ベクトルも垂直になります。 2 つのベクトルの垂直条件を適用すると、2 つの直線の垂直条件が得られます。

例。 直接

という事実により垂直になります。

平行度と直角度の条件に関連して、次の 2 つの問題を解決します。

f. 指定された線に平行な点を通る線を描きます

解決策はこのように実行されます。 目的の直線はこの直線と平行であるため、その方向ベクトルとして、指定された直線の方向ベクトルと同じもの、つまり射影 A と B を持つベクトルを採用できます。すると、目的の直線の方程式は次のように書かれます。フォーム (§ 1)

例。 点 (1; 3) を通り、直線に平行な直線の方程式

次もあるよ！

g. 指定された線に垂直な点を通る線を描きます

ここで、投影 A を持つベクトルをガイド ベクトルとして取得することはもはや適切ではありませんが、それに垂直なベクトルを取得する必要があります。 したがって、このベクトルの投影は、両方のベクトルの垂直性の条件に従って、つまり次の条件に従って選択する必要があります。

ここでは 2 つの未知数を持つ 1 つの方程式があるため、この条件は無数の方法で満たすことができますが、最も簡単な方法は または をとることです。すると、目的の直線の方程式が次の形式で記述されます。

例。 点 (-7; 2) を通る垂線の方程式

(2 番目の式によると) 次のようになります。

h. 直線が次の形式の方程式で与えられる場合、

これらの方程式を別の方法で書き直すと、

角度空間内の直線間の角度を、データに平行な任意の点を通って引かれた 2 本の直線によって形成される隣接する角度と呼びます。

スペースに 2 行を入力します。

明らかに、直線間の角度 φ は、その方向ベクトル と の間の角度とみなすことができます。 以来、ベクトル間の角度の余弦の公式を使用すると、次のようになります。

2 つの直線の平行度および垂直度の条件は、それらの方向ベクトルの平行度および垂直度の条件と等価であり、次のとおりです。

2ストレート 平行対応する係数が比例する場合にのみ、つまり、 私 1パラレル 私 2 並列の場合にのみ .

2ストレート 垂直対応する係数の積の合計がゼロに等しい場合に限り、 。

U 線と面の間のゴール

まっすぐにしておきます d- θ 平面に対して垂直ではありません。
d'− 線の投影 dθ平面へ。
直線間の最小角度 dそして d「電話します」 直線と平面の間の角度.
それを φ=( d,θ)
もし d⊥θ なら ( d、θ)=π/2

大井→j→k→− 直交座標系。
平面方程式:

θ: 斧+による+Cz+D=0

直線は点と方向ベクトルによって定義されると仮定します。 d[M 0,p→]
ベクター n→(あ,B,C)⊥θ
次に、ベクトル間の角度を見つけることが残ります。 n→そして p→、これを γ=( n→,p→).

角度γの場合<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

角度が γ>π/2 の場合、望ましい角度は φ=γ−π/2 です。

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

それから、 直線と平面の間の角度次の式を使用して計算できます。

sinφ=∣cosγ∣=∣∣ アプ 1+血圧 2+CP 3∣ ∣ √あ 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

質問29. 二次形式の概念。 二次形式の符号明確性。

二次形式 j (x 1, x 2, …, x n) n 実数変数 x 1, x 2, …, x nは次の形式の和と呼ばれます
, (1)

どこ アイジ – 係数と呼ばれるいくつかの数値。 一般性を失うことなく、次のように仮定できます。 アイジ = あじ.

二次形式は次のように呼ばれます 有効、もし アイジ Î GR. 二次形式の行列はその係数から構成される行列と呼ばれます。 二次形式 (1) は唯一の対称行列に対応します。
あれは A T = A。 したがって、二次形式 (1) は行列形式 j ( バツ) = ×たああ、 どこ ×T = (バツ 1 バツ 2 … ×n). (2)

逆に、すべての対称行列 (2) は、変数の表記に至るまで固有の 2 次形式に対応します。

二次形式のランクはその行列のランクと呼ばれます。 二次形式は次のように呼ばれます 非退化、その行列が特異でない場合 あ。 (行列を思い出してください あ行列式がゼロに等しくない場合、非縮退と呼ばれます)。 それ以外の場合、二次形式は縮退します。

正定値（または厳密に肯定的な）場合

j ( バツ) > 0 、 誰にも バツ = (バツ 1 , バツ 2 , …, ×n), を除外する バツ = (0, 0, …, 0).

マトリックス あ正定二次形式 j ( バツ) は正定値とも呼ばれます。 したがって、正定二次形式は一意の正定行列に対応し、その逆も同様です。

二次形式 (1) は次のように呼ばれます。 否定的に定義された(または厳密に否定的)

j ( バツ) < 0, для любого バツ = (バツ 1 , バツ 2 , …, ×n）、 を除外する バツ = (0, 0, …, 0).

上記と同様に、負定値 2 次形式の行列も負定値と呼ばれます。

したがって、正（負）の定二次形式 j ( バツ) が最小 (最大) 値 j ( バツ*) = 0 バツ* = (0, 0, …, 0).

ほとんどの 2 次形式は符号が明確ではない、つまり、正でも負でもないことに注意してください。 このような二次形式は、座標系の原点だけでなく、他の点でも消滅します。

いつ n> 2、二次形式の符号をチェックするには特別な基準が必要です。 それらを見てみましょう。

メジャーマイナー二次形式はマイナーと呼ばれます。

つまり、これらは 1、2、... の順序の未成年者です。 n行列 あ、左上隅に位置し、それらの最後は行列の行列式と一致します。 あ.

正の明確性基準 (シルベスター基準)

バツ) = ×たああが正定値であった場合、行列のすべての長短調が存在することが必要かつ十分です。 あ陽性でした、つまり: M 1 > 0, M 2 > 0, …, ん > 0. 負の確実性基準 二次形式 j ( バツ) = ×たああが負定であった場合、偶数次の主要マイナーが正であり、奇数次が負であることが必要かつ十分です。つまり、次のようになります。 M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n