関数の描き方。関数グラフ

y （x）\u003d e xその導関数は関数自体に等しい。

出展者は、またはとして指定されます。

番号e

指数の次数の基礎は 番号e..。これは無理数です。ほぼ等しい
e ≈ 2,718281828459045...

数eは、シーケンス制限によって決定されます。これはいわゆる 2番目の素晴らしい限界:
.

また、数eはシリーズとして表すことができます。
.

出展スケジュール

指数プロット、y \u003d ex。

グラフは指数を示しています、 e ある程度バツ.
y （x）\u003d e x
グラフは、指数が単調に増加していることを示しています。

数式

基本的な公式は、次数eを底とする指数関数の場合と同じです。

;
;
;

指数に関して次数aの任意の基数を持つ指数関数の表現：
.

プライベートバリュー

yをしましょう（x）\u003d e x..。次に
.

指数プロパティ

指数は、次数を底とする指数関数のプロパティを持っています e > 1 .

ドメイン、複数の値

指数y （x）\u003d e x すべてのxに対して定義されます。
その範囲：
- ∞ < x + ∞ .
その多くの意味：
0 < y < + ∞ .

極値、増加、減少

指数は単調増加関数であるため、極値はありません。その主なプロパティを表に示します。

逆関数

指数の逆数は自然対数です。
;
.

指数導関数

デリバティブ e ある程度バツ等しい e ある程度バツ :
.
n次の導関数：
.
式の導出\u003e\u003e\u003e

積分

複素数

複素数のアクションは、を使用して実行されます オイラーの公式:
,
虚数単位はどこですか：
.

双曲線関数に関する式

; ;
.

三角関数による式

; ;
;
.

べき級数展開

参照：
に。ブロンスタイン、K.A。 Semendyaev、技術機関のエンジニアと学生のための数学のハンドブック、「Lan」、2009年。

平面上の直交座標系を選択し、横軸に引数の値をプロットしましょうバツ、および縦座標-関数の値 y \u003d f（x）.

関数グラフ y \u003d f（x） 横軸が関数の定義域に属するすべての点のセットと呼ばれ、縦座標は関数の対応する値に等しくなります。

言い換えると、関数y \u003d f（x）のグラフは、平面のすべての点、座標のセットです。 バツ、 で関係を満たす y \u003d f（x）.

図では 45と46は関数のグラフです y \u003d 2x + 1 そして y \u003d x 2-2x.

厳密に言えば、関数のグラフ（正確な数学的定義は上に示した）と、グラフのほぼ正確なスケッチのみを常に提供する描画された曲線（そして、原則として、グラフ全体ではなく、平面の最後の部分にある部分のみ）。ただし、以下では、通常、「スケッチグラフ」ではなく「グラフ」と言います。

グラフを使用して、あるポイントでの関数の値を見つけることができます。つまり、ポイントが x \u003d a 関数の定義域に属します y \u003d f（x）、次に番号を見つける f（a） （つまり、その時点での関数の値 x \u003d a）これを行う必要があります。横軸のある点から必要です x \u003d a 縦座標に平行な直線を描きます。この線は関数のグラフと交差します y \u003d f（x） 一点に; この点の縦座標は、グラフの定義により、次のようになります。 f（a） （図47）。

たとえば、関数の場合 f（x）\u003d x 2-2x グラフ（図46）を使用すると、f（-1）\u003d 3、f（0）\u003d 0、f（1）\u003d -l、f（2）\u003d 0などがわかります。

関数グラフは、関数の動作とプロパティを明確に示しています。たとえば、図を検討すると。 46その機能は明らかです y \u003d x 2-2x で正の値を取ります バツ< 0 とで x\u003e 2、負-0で< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2-2x で取る x \u003d 1.

関数をプロットするには f（x）平面のすべての点、座標を見つける必要がありますバツ, で方程式を満たす y \u003d f（x）..。そのような点が無限にあるため、ほとんどの場合、これを行うことはできません。したがって、関数のグラフはほぼ正確に表示されます。最も簡単なのは多点プロット法です。それは議論がバツ有限数の値（たとえば、x 1、x 2、x 3、...、x k）を指定し、関数の選択された値を含むテーブルを作成します。

テーブルは次のようになります。

このような表をまとめたら、関数グラフのいくつかのポイントを概説できます。 y \u003d f（x）..。次に、これらの点を滑らかな線で結ぶと、関数のグラフのおおよそのビューが得られます。 y \u003d f（x）。

ただし、多点プロット法は非常に信頼性が低いことに注意してください。実際、指定されたポイント間のグラフの動作と、取得されたポイントの極値間のセグメント外でのグラフの動作は不明なままです。

例1..。関数をプロットするには y \u003d f（x） 誰かが引数と関数の値の表を作成しました：

対応する5つのポイントを図に示します。 48。

これらの点の位置に基づいて、彼は関数のグラフが直線であると結論付けました（図48に点線で示されています）。この結論は信頼できると見なすことができますか？この結論を裏付ける追加の考慮事項がない場合、それは信頼できるとはほとんど考えられません。信頼性のある。

私たちのステートメントを実証するために、関数を検討してください

計算によると、ポイント-2、-1、0、1、2でのこの関数の値は、上記の表で説明されています。ただし、この関数のグラフは直線ではありません（図49を参照）。別の例は関数です y \u003d x + l +sinπx; その値は上記の表にも記載されています。

これらの例は、純粋なマルチポイントチャート作成方法が信頼できないことを示しています。したがって、特定の関数のグラフを作成するには、原則として、次の手順に従います。まず、グラフのスケッチを作成できるこの関数のプロパティを調べます。次に、いくつかのポイントで関数の値を計算し（その選択は関数の設定されたプロパティに依存します）、グラフの対応するポイントが見つかります。そして最後に、この関数のプロパティを使用して、作成されたポイントを通る曲線が描画されます。

グラフのスケッチを見つけるために使用される関数のいくつかの（最も単純で最も頻繁に使用される）プロパティについては後で説明しますが、ここでは、一般的に使用されるプロット方法のいくつかを分析します。

関数y \u003d | f（x）|のグラフ。

多くの場合、関数をプロットする必要があります y \u003d | f（x）|、ここで f（x）-与えられた機能。これがどのように行われるかを思い出してみましょう。数値の絶対値を決定することにより、次のように書くことができます。

これは、関数のグラフが y \u003d | f（x）| グラフ、関数から取得できます y \u003d f（x） 次のように：関数のグラフのすべてのポイント y \u003d f（x）縦座標が負でない場合は、変更しないでください。さらに、関数のグラフのポイントの代わりに y \u003d f（x）負の座標では、関数のグラフの対応する点を作成する必要があります y \u003d -f（x） （つまり、関数のグラフの一部
y \u003d f（x）軸の下にあります バツ、 軸を中心に対称的に反射する必要がありますバツ).

例2。 プロット機能 y \u003d | x |。

関数のグラフを取ります y \u003d x（図50、a）およびこのグラフの一部 バツ< 0 （軸の下にあるバツ）軸を中心に対称的に反射するバツ..。その結果、関数のグラフが得られます y \u003d | x | （図50、b）。

例3..。プロット機能 y \u003d | x 2-2x |。

まず、関数をプロットします y \u003d x2-2x。 この関数のグラフは放物線であり、その枝は上向きで、放物線の頂点は座標（1; -1）を持ち、そのグラフは点0と2で横軸と交差します。間隔（0; 2 ）、関数は負の値を取るため、グラフのこの部分は横軸を中心に対称的に反映されます。図51に関数のグラフを示します y \u003d | x 2 -2x |関数グラフに基づく y \u003d x 2-2x

関数y \u003d f（x）+ g（x）のグラフ

関数をプロットする問題を考えてみましょう y \u003d f（x）+ g（x）。 関数グラフが与えられている場合 y \u003d f（x） そして y \u003d g（x）.

関数y \u003d | f（x）+ g（x）|の定義域に注意してください。は、関数y \u003d f（x）とy \u003d g（x）の両方が定義されているxのすべての値のセットです。つまり、このドメインは、ドメイン、関数f（x）、g（x）の共通部分です。）。

ポイントをしましょう （x 0、y 1）および （x 0、y 2）それぞれ関数のグラフに属します y \u003d f（x） そして y \u003d g（x）、つまりy 1 \u003d f（x 0）、y 2 \u003d g（x 0）。 次に、点（x0;。y1+ y2）は関数のグラフに属します。 y \u003d f（x）+ g（x） （ために f（x 0）+ g（x 0）\u003d y 1 + y2）、。および関数のグラフ上の任意の点 y \u003d f（x）+ g（x） この方法で取得できます。したがって、関数のグラフ y \u003d f（x）+ g（x） 関数グラフから取得できます y \u003d f（x）..。そして y \u003d g（x） 各ポイントを置き換える（ x n、y 1）関数グラフィックス y \u003d f（x） ポイント （x n、y 1 + y 2）、 どこ y 2 \u003d g（x n）、つまり、各ポイントのシフトによって（ x n、y 1）関数グラフ y \u003d f（x） 軸に沿ってで量によって y 1 \u003d g（x n）。この場合、そのような点のみが考慮されますバツ両方の機能が定義されているn y \u003d f（x） そして y \u003d g（x）.

関数をプロットするこの方法 y \u003d f（x）+ g（x）は、関数のグラフの追加と呼ばれます y \u003d f（x）そして y \u003d g（x）

例4..。この図では、グラフを追加することにより、関数のグラフが作成されます
y \u003d x + sinx.

関数をプロットするとき y \u003d x + sinx 私たちはそれを信じていました f（x）\u003d x、そして g（x）\u003d sinx。関数グラフをプロットするには、横軸が-1.5π、-、-0.5、0、0.5 、、 1.5、2の点を選択します。値 f（x）\u003d x、g（x）\u003d sinx、y \u003d x + sinx選択したポイントで計算し、結果をテーブルに配置します。

座標軸上のセグメントの長さは、次の式で求められます。

座標平面上のセグメントの長さは、次の式で求められます。

3次元座標系でセグメントの長さを見つけるには、次の式を使用します。

セグメントの中点の座標（座標軸の場合、最初の式のみが使用され、座標平面の場合、最初の2つの式、3次元座標系の場合、3つの式すべて）は次の式で計算されます。

関数フォームの対応です y= f(バツ）変数間。これにより、それぞれが何らかの変数の値を考慮します。バツ（引数または独立変数）は、別の変数の特定の値と一致します。 y （従属変数。関数値と呼ばれることもあります）。関数は1つの引数値を想定していることに注意してくださいバツ従属変数の1つの値にのみ一致できますで..。また、同じ値で様々な場所で入手できますバツ.

関数スコープ -これらはすべて独立変数の値です（関数の引数、通常はこれバツ）関数が定義されている、つまりその意味は存在します。定義の領域が示されています D(y）。概して、あなたはすでにこの概念に精通しています。関数の定義の領域は、別の方法で、長い間見つけることができた許容値の領域、つまりODZと呼ばれます。

機能範囲 与えられた関数の従属変数のすべての可能な値です。表示 E(で).

機能が上がる 引数の大きい方の値が関数の大きい方の値に対応する区間。 機能が低下しています 引数の大きい方の値が関数の小さい方の値に対応する間隔。

関数の一定間隔 -これらは、従属変数が正または負の符号を保持する独立変数の間隔です。

関数の零点 -これらは、関数の値がゼロに等しい引数の値です。これらの点で、関数のグラフは横軸（OX軸）と交差します。多くの場合、関数の零点を見つける必要があるということは、方程式を解くだけでよいということです。また、不等式の間隔を見つける必要があるということは、単に不等式を解く必要があることを意味することがよくあります。

関数 y = f(バツ）と呼ばれるでもバツ

これは、引数の反対の値について、偶関数の値が等しいことを意味します。偶関数のグラフは、OUの縦軸に対して常に対称です。

関数 y = f(バツ）と呼ばれる奇数対称集合で定義されている場合、およびバツ定義域から、平等が満たされます。

これは、引数の反対の値の場合、奇関数の値も反対であることを意味します。奇関数のプロットは、常に原点に関して対称です。

偶関数と奇関数の根の合計（横軸OXの交点）は常にゼロに等しくなります。正のルートごとにバツ負のルートがあります- バツ.

一部の関数は奇数または偶数である必要はないことに注意することが重要です。奇数でも偶数でもない関数はたくさんあります。そのような関数は呼ばれます 一般的な機能、および上記の同等性またはプロパティのいずれもそれらに当てはまりません。

一次関数 次の式で指定できる関数を呼び出します。

一次関数のグラフは直線であり、一般的な場合は次のようになります（例を示します。 k \u003e 0、この場合、関数は増加しています。機会のために k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

二次関数グラフ（放物線）

放物線プロットは、2次関数で与えられます。

二次関数は、他の関数と同様に、その根である点でOX軸と交差します:( バツ 1 ; 0）および（バツ 2; 0）。根がない場合、二次関数はOX軸と交差しません。根が1つある場合、この時点で（バツ 0; 0）2次関数は、OX軸にのみ接触し、交差しません。二次関数は、座標が次の点で常にOY軸と交差します：（0; c）。二次関数（放物線）のグラフは次のようになります（図には、考えられるすべてのタイプの放物線を使い尽くすわけではない例があります）。

ここで：

係数が a \u003e 0、関数内 y = 斧 2 + bx + c、次に放物線の枝が上向きになります。
もし a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

放物線の頂点の座標は、次の式を使用して計算できます。 Xトップス (p -上の図では）放物線（または二乗三項式が最大値または最小値に達する点）：

アペックスプレーヤー (q -上の図では）放物線または放物線の枝が下向きの場合の最大値（ a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a \u003e 0）、二乗三項式の値：

他の関数のグラフ

べき関数

電力関数のグラフの例を次に示します。

反比例の 次の式で与えられる関数を呼び出します。

数字の符号に応じて k 反比例グラフには、次の2つの主要なオプションがあります。

漸近線 関数グラフの線が無限に近いが交差しない線です。上図に示す反比例グラフの漸近線は座標軸であり、関数グラフは無限に接近していますが、交差していません。

指数関数 財団と そして 次の式で与えられる関数を呼び出します。

a 指数関数グラフには、2つの基本的なオプションがあります（例も示します。以下を参照してください）。

対数関数 次の式で与えられる関数を呼び出します。

数が1より大きいか小さいかに応じて a 対数関数のグラフには、次の2つの基本的なオプションがあります。

関数グラフ y = |バツ| 次のように：

周期（三角関数）関数のグラフ

関数で = f(バツ）と呼ばれる 定期的ゼロ以外の数値が存在する場合 T、何 f(バツ + T) = f(バツ）、誰にもバツ機能ドメインから f(バツ）。関数の場合 f(バツ）周期的で周期的 T、次に関数：

どこ： A, k, b 定数であり、 k ゼロに等しくなく、周期も周期的 T 1、これは次の式で決定されます。

周期関数のほとんどの例は三角関数です。主な三角関数のグラフは次のとおりです。次の図は、関数グラフの一部を示しています y \u003d罪バツ（グラフ全体が左右に無期限に続く）、関数グラフ y \u003d罪バツと呼ばれる類洞:

関数グラフ y \u003d cos バツと呼ばれる余弦..。このグラフを次の図に示します。正弦グラフもOX軸に沿って左右に無限に続くため、次のようになります。

関数グラフ y \u003d tg バツと呼ばれる タンジェントイド..。このグラフを次の図に示します。他の周期関数のグラフと同様に、このグラフはOX軸に沿って左右に無期限に繰り返されます。

最後に、関数グラフ y \u003d ctg バツと呼ばれる コタンゲンソイド..。このグラフを次の図に示します。他の周期関数および三角関数のグラフと同様に、このグラフはOX軸に沿って左右に無期限に繰り返されます。

物理学と数学のCTの準備を成功させる方法は？

成功するために vUの準備物理学と数学では、とりわけ、3つの重要な条件を満たす必要があります。

すべてのトピックを研究し、で与えられたすべてのテストと課題を完了します教材そのウェブサイトで。これを行うには、何も必要ありません。つまり、物理学と数学のCTの準備、理論の研究、問題の解決に毎日3〜4時間を費やす必要があります。事実、CTは試験であり、物理学や数学を知るだけでは不十分ですが、さまざまなトピックやさまざまな複雑さに関する多数の問題を迅速かつスムーズに解決できる必要があります。後者は、何千もの問題を解決することによってのみ学ぶことができます。
学ぶ物理学のすべての公式と法則、および数学の公式と方法 ..。実際、これを行うのも非常に簡単です。物理学では約200の必要な数式しかなく、数学では少しでも少ないです。これらの主題のそれぞれには、基本的なレベルの複雑さの問題を解決するための約12の標準的な方法があります。これは、学ぶことも非常に可能であり、したがって、完全に自動的に、問題なく、適切なタイミングで、ほとんどのCGを解決します。その後は、最も難しいタスクについて考えるだけで済みます。
3つのステージすべてにアクセスリハーサルテスト物理学と数学で。各RTに2回アクセスして、両方のオプションを解決できます。繰り返しになりますが、CTでは、問題を迅速かつ効率的に解決する能力、および式と方法の知識に加えて、時間を適切に計画し、力を分散し、そして最も重要なことに、回答フォームに記入できることも必要です。回答とタスクの数、または自分の名前を混同することなく、正しく。また、RT中は、タスクで質問を提起するスタイルに慣れることが重要です。これは、CTでは準備ができていない人には非常に珍しいように見える場合があります。

これらの3つのポイントの成功した、勤勉で責任ある実施、および責任ある研究最終トレーニングテスト、CTで優れた結果を表示できるようになります。これは、可能な最大の結果です。

バグを見つけましたか？

トレーニング資料に誤\u200b\u200bりを見つけた場合は、メール（）でご連絡ください。手紙の中で、主題（物理学または数学）、トピックまたはテストのタイトルまたは番号、問題の番号、またはあなたの意見でエラーがあると思われるテキスト（ページ）の場所を示してください。また、申し立てられたエラーが何であるかを説明してください。あなたの手紙は見過ごされることはなく、エラーが修正されるか、エラーではない理由を説明します。

印刷