アルキメデスの力の作用を説明する法則は何か。 アルキメデスの法則: ダミーのための発見の歴史と現象の本質

アルキメデスの法則- 流体静力学と気体静力学の主要な法則の 1 つ。

定式化と説明

アルキメデスの法則は次のように定式化されます。液体 (または気体) に浸された物体には、この物体によって押しのけられた液体 (または気体) の重量に等しい浮力が作用します。 その力はと呼ばれます アルキメデスの力によって:

ここで、 は液体（気体）の密度、 は重力加速度、 は水没した物体の体積（または表面の下に位置する物体の体積の一部）です。 物体が表面に浮いている場合、または均一に上下に移動する場合、浮力 (アルキメデス力とも呼ばれる) は、押しのけられた液体 (気体) の体積に作用する重力と大きさが同じ (方向が逆) になります。ボディによって、このボリュームの重心に適用されます。

アルキメデスの力が物体の重力と釣り合うと、物体は浮きます。

ボディは完全に液体で囲まれている (または液体の表面と交差している) 必要があることに注意してください。 したがって、たとえば、アルキメデスの法則は、タンクの底にあり、底に気密に接触している立方体には適用できません。

気体、たとえば空気中にある物体の場合、揚力を求めるには、液体の密度を気体の密度に置き換える必要があります。 たとえば、ヘリウム風船はヘリウムの密度が空気の密度よりも小さいため、上向きに飛行します。

アルキメデスの法則は、直方体を例にすると静水圧の違いで説明できます。

どこ PA、PB- 点での圧力 あそして B、ρ - 流体密度、 h- ポイント間のレベル差 あそして B, S- 本体の水平断面積、 V- 体の浸漬部分の体積。

理論物理学では、アルキメデスの法則は積分形式でも使用されます。

ここで、 は表面積、 は任意の点での圧力、積分は物体の表面全体で実行されます。

重力場がない場合、つまり無重力状態では、アルキメデスの法則は機能しません。 宇宙飛行士はこの現象をよく知っています。 特に、無重力状態では（自然）対流現象が存在しないため、例えば宇宙船の居住区画の空冷や換気はファンによって強制的に行われます。

一般化

アルキメデスの法則の類似物は、物体と液体 (気体) に異なる作用を及ぼす力の場、または不均一な場でも有効です。 たとえば、これは慣性力 (遠心力など) の場を指します。遠心分離はこれに基づいています。 非機械的な性質の磁場の例: 導電体が、磁場の強度が高い領域から強度が低い領域に移動します。

任意の形状の物体に対するアルキメデスの法則の導出

深さでは流体の静水圧が存在します。 この場合、流体の圧力と重力場の強度は定数値であり、パラメーターであると考えられます。 ゼロ以外の体積を持つ任意の形状の物体を考えてみましょう。 右手正規直交座標系を導入し、ベクトルの方向と一致するように z 軸の方向を選択しましょう。 液体の表面の z 軸に沿ってゼロを設定します。 物体の表面の基本領域を選択してみましょう。 体内に向けられた流体圧力によって作用されます。 。 ボディに作用する力を取得するには、表面上の積分を取得します。

表面積分から体積積分に移行するとき、一般化されたオストログラドスキー ガウスの定理を使用します。

アルキメデスの力の係数は に等しく、重力場強度ベクトルの方向とは反対の方向を向いていることがわかります。

浮遊体の状況

液体または気体中にある物体の挙動は、この物体に作用する重力モジュールとアルキメデス力との関係に依存します。 次の 3 つのケースが考えられます。

別の定式化 (ここで、 は本体の密度、はそれが浸される媒体の密度)。

そして静的なガス。

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  アルキメデスの法則は次のように定式化されます。液体 (または気体) に浸された物体には、物体の浸された部分の体積内の液体 (または気体) の重量に等しい浮力が作用します。 その力はと呼ばれます アルキメデスの力によって:

  F A = ρ g V , (\displaystyle (F)_(A)=\rho (g)V,)

  どこ ρ (\displaystyle \rho )- 液体（気体）の密度、 g (\displaystyle (g))は自由落下の加速度であり、 V (\表示スタイル V)- 物体の水没部分の体積 (または、表面の下に位置する体の体積の部分)。 物体が表面に浮かんでいる (均一に上下に動いている) 場合、浮力 (アルキメデス力とも呼ばれる) は、液体 (気体) の体積に作用する重力と大きさが同じ (方向が逆) になります。ボディによって変位され、このボリュームの重心に適用されます。

  ボディは完全に液体で囲まれている (または液体の表面と交差している) 必要があることに注意してください。 したがって、たとえば、アルキメデスの法則は、タンクの底にあり、底に気密に接触している立方体には適用できません。

  気体、たとえば空気中にある物体の場合、揚力を求めるには、液体の密度を気体の密度に置き換える必要があります。 たとえば、ヘリウム風船はヘリウムの密度が空気の密度よりも小さいため、上向きに飛行します。

  アルキメデスの法則は、直方体を例にすると静水圧の違いで説明できます。

  P B − P A = ρ g h (\displaystyle P_(B)-P_(A)=\rho gh) F B − F A = ρ g h S = ρ g V , (\displaystyle F_(B)-F_(A)=\rho ghS=\rho gV,)

  どこ P A、P B- 点での圧力 あそして B、ρ - 流体密度、 h- ポイント間のレベル差 あそして B, S- 本体の水平断面積、 V- 体の浸漬部分の体積。

  理論物理学では、アルキメデスの法則は積分形式でも使用されます。

  F A = ∬ S p d S (\displaystyle (F)_(A)=\iint \limits _(S)(p(dS))),

  どこ S (\displaystyle S)- 表面積、 p (\displaystyle p)- 任意の点での圧力により、ボディの表面全体で統合が行われます。

  重力場がない場合、つまり無重力状態では、アルキメデスの法則は機能しません。 宇宙飛行士はこの現象をよく知っています。 特に、無重力状態では（自然）対流現象が存在しないため、例えば宇宙船の居住区画の空冷や換気はファンによって強制的に行われます。

  一般化

  アルキメデスの法則の類似物は、物体と液体 (気体) に異なる作用を及ぼす力の場、または不均一な場でも有効です。 たとえば、これは慣性力の場 (たとえば、遠心力) を指します。遠心分離はこれに基づいています。 非機械的性質の磁場の例: 真空中の反磁性物質は、より強度の高い磁場の領域からより強度の低い磁場の領域に移動します。

  任意の形状の物体に対するアルキメデスの法則の導出

  深さにおける流体の静水圧 h (\表示スタイル h)がある p = ρ g h (\displaystyle p=\rho gh)。 同時に私たちはこう考えます ρ (\displaystyle \rho )液体と重力場の強さは一定の値であり、 h (\表示スタイル h)- パラメータ。 ゼロ以外の体積を持つ任意の形状の物体を考えてみましょう。 正規直交座標系を導入しましょう O xy z (\displaystyle Oxyz)、ベクトルの方向と一致するように z 軸の方向を選択します。 g → (\displaystyle (\vec (g)))。 液体の表面の z 軸に沿ってゼロを設定します。 体表面の基本領域を選択しましょう d S (\displaystyle dS)。 体内に向けられた流体圧力によって作用されます。 d F → A = − p d S → (\displaystyle d(\vec (F))_(A)=-pd(\vec (S)))。 ボディに作用する力を取得するには、表面上の積分を取得します。

  F → A = − ∫ S p d S → = − ∫ S ρ g h d S → = − ρ g ∫ S h d S → = − ρ g ∫ V g ra d (h) d V = ∗ ∗ − ρ g ∫ V e → z d V = − ρ g e → z ∫ V d V = (ρ g V) (− e → z) (\displaystyle (\vec (F))_(A)=-\int \limits _(S)(p \,d(\vec (S)))=-\int \limits _(S)(\rho gh\,d(\vec (S)))=-\rho g\int \limits _(S)( h\,d(\vec (S)))=^(*)-\rho g\int \limits _(V)(grad(h)\,dV)=^(**)-\rho g\int \limits _(V)((\vec (e))_(z)dV)=-\rho g(\vec (e))_(z)\int \limits _(V)(dV)=(\ rho gV)(-(\vec (e))_(z)))

  表面積分から体積積分に移行するときは、一般化されたオストログラドスキー ガウスの定理を使用します。

  ∗ h (x, y, z) = z; ∗ ∗ g r a d (h) = ∇ h = e → z (\displaystyle ()^(*)h(x,y,z)=z;\quad ^(**)grad(h)=\nabla h=( \vec (e))_(z))

  アルキメデス力の係数は以下に等しいことがわかります。 ρ g V (\displaystyle \rho gV)、重力場強度ベクトルの方向と逆の方向を向いています。

  別の表現（どこで ρ t (\displaystyle \rho _(t))- 体の密度、 ρ s (\displaystyle \rho _(s))- 浸漬される媒体の密度)。

  アルキメデスの法則は次のように定式化されます。液体 (または気体) に浸された物体には、この物体によって押しのけられた液体 (または気体) の重量に等しい浮力が作用します。 その力はと呼ばれます アルキメデスの力によって:

  ここで、 は液体（気体）の密度、 は自由落下の加速度、 は水没した物体の体積（または表面の下に位置する物体の体積の一部）です。 物体が表面に浮いている場合、または均一に上下に移動する場合、浮力 (アルキメデス力とも呼ばれる) は、押しのけられた液体 (気体) の体積に作用する重力と大きさが同じ (方向が逆) になります。ボディによって、このボリュームの重心に適用されます。

  アルキメデスの力が物体の重力と釣り合うと、物体は浮きます。

  ボディは完全に液体で囲まれている (または液体の表面と交差している) 必要があることに注意してください。 したがって、たとえば、アルキメデスの法則は、タンクの底にあり、底に気密に接触している立方体には適用できません。

  気体、たとえば空気中にある物体の場合、揚力を求めるには、液体の密度を気体の密度に置き換える必要があります。 たとえば、ヘリウム風船はヘリウムの密度が空気の密度よりも小さいため、上向きに飛行します。

  アルキメデスの法則は、直方体を例にすると静水圧の違いで説明できます。

  どこ P あ 、P B- 点での圧力 あそして B、ρ - 流体密度、 h- ポイント間のレベル差 あそして B, S- 本体の水平断面積、 V- 体の浸漬部分の体積。

  18. 静止時の流体中の物体の平衡

  液体に（完全または部分的に）浸された物体は、液体から下から上へ向かう、物体の浸された部分の体積中の液体の重量に等しい全圧力を受けます。 P あなたはあなたです = ρ そして gV ポグル

  表面に浮いている均質な物体の場合、この関係は真です。

  どこ： V- 浮遊体の体積; ρ メートル- 体の密度。

  浮体に関する既存の理論は非常に広範であるため、この理論の水力学的本質のみを考察することに限定します。

  平衡状態から外された浮遊物体が再び平衡状態に戻る能力を 安定性。 船の浸水部分の体積に取り込まれた液体の重量をいいます。 変位、結果として生じる圧力の作用点 (つまり、圧力の中心) は次のとおりです。 変位中心。 船の通常の位置では、重心は とと変位の中心 d同じ垂直線上に横たわる お、お」、船舶の対称軸を表し、航行軸と呼ばれます（図2.5）。

  外力の影響で船が一定の角度αだけ傾くと、船の一部が KLMオランダ航空液体の中から出てきて、その一部が K"L"M"、逆にそこに突っ込みました。 同時に、変位中心の新しい位置を取得しました。 で」。 ポイントに当てはめてみましょう で」リフト Rそして対称軸と交差するまでその作用線を続けます。 お、お」。 獲得ポイント メートル呼ばれた メタセンター、およびセグメント mC = 時間呼ばれた メタセントリック高さ。 想定します hポイントが正の場合 メートル点の上にある C、および負 - それ以外の場合。

  米。 2.5. 容器の断面図

  ここで船の平衡状態を考えてみましょう。

  1) もし h> 0 の場合、船は元の位置に戻ります。 2) もし h= 0 の場合、これは無関心平衡のケースです。 3) もし h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна.

  したがって、重心が低くなり、メタセントリック高さが大きくなるほど、容器の安定性が高まります。

  アルキメデスの法則ほど単純なものはないように思えます。 しかし、かつてアルキメデス自身が自分の発見に本当に困惑していました。 どうでしたか？

  流体静力学の基本法則の発見に関連した興味深い話があります。

  アルキメデスの生と死に関する興味深い事実と伝説

  アルキメデスの法則自体の発見のような巨大な進歩に加えて、この科学者は数多くの功績と業績を残しています。 一般に、彼は力学、天文学、数学の分野で活躍した天才でした。 彼は、「浮遊体」、「球体と円柱」、「螺旋」、「円錐体と回転楕円体」、さらには「砂粒」に関する論文などの著作を執筆しました。 最新の研究では、宇宙を満たすのに必要な砂粒の数を測定することが試みられました。

  
  

  シラクサ包囲戦におけるアルキメデスの役割

  紀元前 212 年、シラクサはローマ軍に包囲されました。 75 歳のアルキメデスは、強力なカタパルトと軽量の短距離投擲機、そしていわゆる「アルキメデスの爪」を設計しました。 彼らの助けにより、文字通り敵船をひっくり返すことが可能でした。 このような強力かつ技術的な抵抗に直面したローマ人は都市を襲撃することができず、包囲を開始せざるを得ませんでした。 別の伝説によると、アルキメデスは鏡を使ってローマの艦隊に火をつけ、太陽の光を船に集中させたと言われています。 この伝説の信憑性は疑わしいようです。 当時の歴史家は誰もこのことに言及しませんでした。

  アルキメデスの死

  多くの証言によると、アルキメデスは最終的にシラクサを占領したローマ人によって殺されました。 これは、偉大なエンジニアの死の考えられるバージョンの 1 つです。

  科学者は自宅のベランダで、砂の上に直接手で描いた図を振り返った。 通りかかった兵士がその絵を踏んだので、アルキメデスは考え込んで「私の絵から離れなさい」と叫びました。 これに対し、どこかへ急ぐ兵士は、ただ剣で老人を突き刺した。

  さて、ここで問題となるのは、アルキメデスの法則と力についてです...

  アルキメデスの法則の発見と有名な「交響詩篇エウレカ」の起源！

  古代。 紀元前3世紀。 シチリア島にはまだマフィアは存在しないが、古代ギリシャ人が存在する。

  シラキュース（シチリア島のギリシャ植民地）出身の発明家、技術者、理論科学者であるアルキメデスは、イエロ 2 世に仕えました。 ある日、宝石商が王様のために金の王冠を作りました。 王様は不審者だったので、科学者を自分のところに呼び、王冠に銀の不純物が含まれているかどうかを調べるように指示しました。 ここで、その遠い時代には誰もそのような問題を解決しておらず、この事件は前例のないものであったと言わなければなりません。

  
  

  アルキメデスは長い間考えましたが、何も思いつきませんでした。そして、ある日、浴場に行くことにしました。 そこで、科学者は水の入ったたらいに座って、問題の解決策を見つけました。 アルキメデスは、完全に明白な事柄に注意を向けました。水に浸された物体は、その物体自身の体積に等しい体積の水と置き換わります。

  そのとき、アルキメデスは服を着ることもせずに浴場から飛び出し、「見つかった」を意味する有名な「エウレカ」を叫びました。 アルキメデスは王の前に現れ、王冠と同じ重さの銀と金のインゴットを与えるように頼みました。 アルキメデスは、王冠とインゴットによって押しのけられた水の体積を測定して比較することにより、王冠が純金ではなく銀が混合されていることを発見しました。 これはアルキメデスの法則の発見の物語です。

  アルキメデスの法則の本質

  アルキメデスの原理をどう理解すればよいかという疑問があれば、私たちが答えます。 ただ座って考えれば理解が得られます。 実際、この法律には次のように書かれています。

  気体または液体に浸された物体は、物体の浸漬部分の体積における液体 (気体) の重量に等しい浮力を受けます。 この力をアルキメデス力といいます。

  
  

  ご覧のとおり、アルキメデス力は水中に沈んだ物体だけでなく、大気中の物体にも作用します。 風船を上昇させる力もアルキメデスの力です。 アルキメデス力は次の式を使用して計算されます。

  

  ここで、第 1 項は液体 (気体) の密度、第 2 項は重力加速度、第 3 項は物体の体積です。 重力がアルキメデスの力と等しい場合、体は浮き、大きければ沈み、小さければ浮き始めるまで浮きます。

  
  

  この記事では、ダミーのためのアルキメデスの法則を調べました。 アルキメデスの法則が見つかる問題の解き方を知りたい場合は、お問い合わせください。 私たちのスペシャリストへ。 優れた著者は喜んで知識を共有し、「棚にある」最も困難な問題の解決策を解明します。

  液体と気体。これによれば、液体 (または気体) に浸された物体は、その液体 (または気体) の重量に等しい浮力によって、物体によって押しのけられ、垂直上向きに作用します。

  この法則は、3世紀に古代ギリシャの科学者アルキメデスによって発見されました。 紀元前 e. アルキメデスは、彼の最後の科学著作の 1 つと考えられている論文「浮遊体について」で自分の研究について説明しました。

  以下はそこから導き出された結論です アルキメデスの法則.

  液体や気体が浸漬された物体に及ぼす作用。

  空気を入れたボールを水に浸して手を離すと浮き上がります。 同じことが木片やコルク、その他多くの物体にも起こります。 どのような力で浮くのでしょうか？

  水に浸された物体はあらゆる方向からの水圧の影響を受けます（図1）。 あ）。 体のあらゆる点で、これらの力はその表面に対して垂直に向けられます。 これらの力がすべて等しい場合、身体は全方向の圧縮のみを経験します。 しかし、深さが異なると静水圧も異なり、深さが増すにつれて静水圧も増加します。 したがって、身体の下部に加わる圧力は、身体の上から作用する圧力よりも大きくなります。

  水に浸した物体にかかるすべての圧力を、これらの個々の力をすべて合わせたものと同じ効果を身体に及ぼす 1 つの力（合力または合力）に置き換えると、合力は上向きになります。 これが体を浮かせる仕組みです。 この力は浮力、またはアルキメデス力と呼ばれます（その存在を最初に指摘し、それが依存するものを確立したアルキメデスにちなんで命名されました）。 画像上 bとして指定されています FA.

  アルキメデス（浮力）力は、水中だけでなく他の液体中でも物体に作用します。これは、どの液体にも深さによって異なる静水圧が存在するためです。 この力は気体にも作用し、気球や飛行船が飛ぶのはこのためです。

  浮力のおかげで、水 (またはその他の液体) 中にある物体の重量は空気中よりも軽くなり、空気のない空間よりも空気中の方が軽くなります。 これは、トレーニング用スプリング ダイナモメーターを使用して、最初は空中で重りの重さを量り、次にそれを水の入った容器に降ろすことで簡単に検証できます。

  重量の減少は、物体が真空から空気 (または他の気体) に移されたときにも発生します。

  真空中（たとえば、空気が汲み出された容器内）の物体の重量が次の値に等しい場合、 P0の場合、空中での重量は次のようになります。

  ,

  どこ F'A- 空中の特定の物体に作用するアルキメデス力。 ほとんどの物体では、この力は無視できるものであり、無視できます。つまり、次のように仮定できます。 ペアエアー =P 0 =mg.

  液体中の物体の重量は、空気中よりもはるかに減少します。 体の重さが空中にある場合 ペアエアー =P0の場合、液体中の物体の重量は次のようになります。 P液体 = P 0 - F A。 ここ FA- 液体に作用するアルキメデス力。 したがって、

  

  したがって、液体中の物体に作用するアルキメデス力を調べるには、空気中と液体中の物体の重量を測定する必要があります。 得られた値の差がアルキメデス（浮力）力となります。

  言い換えれば、式 (1.32) を考慮すると、次のように言えます。

  液体に浸された物体に作用する浮力は、この物体によって押しのけられる液体の重さに等しい。

  アルキメデス力は理論的にも求めることができます。 これを行うには、液体に浸された物体が、浸されているのと同じ液体で構成されていると仮定します。 液体に浸された物体に作用する圧力は、その物体が作られている物質に依存しないため、私たちはこれを仮定する権利があります。 すると、そのような物体にアルキメデス力がかかります。 FA下向きの重力によってバランスが保たれます メートルそしてg（どこ メートル- 特定の物体の体積内の液体の質量):

  しかし、重力は押しのけられた流体の重さに等しい R。 したがって。

  液体の質量はその密度の積に等しいと考えると、 ρ体積に関しては、式 (1.33) は次のように記述できます。

  

  どこ Vそして— 押しのけられた液体の体積。 この体積は、液体に浸されている体の部分の体積に等しくなります。 体が完全に液体に浸かっている場合、体積は体積と一致します。 V全身の。 身体が部分的に液体に浸されている場合、体積は Vそして押しのけられた流体は体積よりも少ない V体（図1.39）。

  式 (1.33) は、気体に作用するアルキメデス力にも当てはまります。 この場合にのみ、液体ではなく、気体の密度と置換された気体の体積を代入する必要があります。

  

  上記を考慮すると、アルキメデスの法則は次のように定式化できます。

  静止している液体 (または気体) に浸された物体は、液体 (または気体) の密度、重力加速度、および液体 (または気体) の体積の積に等しい浮力によってこの液体 (または気体) から作用されます。液体（または気体）に浸された体の一部。