すべての面のピタゴラスパンツは同等の証拠です。ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法：例、説明、レビュー

いくつかの議論は私を非常に面白がらせます...

こんにちはあなたは何をしている？
-はい、私は雑誌から問題を解決します。
-わお！あなたに期待していなかった。
-何を期待していなかったのですか？
-あなたが問題に身をかがめること。結局のところ、それは賢いように思えますが、あなたはあらゆる種類のナンセンスを信じています。
-申し訳ありませんが、わかりません。ナンセンスとは何ですか？
-はい、あなたのすべての数学。結局のところ、ゴミが完全であることは明らかです。
-どうしてそれを言うことができますか？数学は科学の女王です...
-この哀れみなしでやって来てくださいね？数学はまったく科学ではありませんが、愚かな法律と規則の1つの連続した山です。
-何？！
-ああ、まあ、そんなに大きな目をしないでください、あなたは私が正しいことをあなた自身が知っています。いいえ、私は主張しません、九九は素晴らしいものです、それは人類の文化と歴史の形成に重要な役割を果たしました。しかし、今ではこれはすべて無関係です！そして、なぜ物事を複雑にするのですか？自然界には積分や対数はありません。これらはすべて数学者の発明です。
-ちょっと待って。数学者は何も発明しませんでした、彼らは証明されたツールを使用して、数の相互作用の新しい法則を発見しました...
-はい、もちろん！そして、あなたはそれを信じますか？彼らが絶えず話しているナンセンスをあなた自身が見ることができませんか？例を挙げていただけますか？
-はい、親切にしてください。
-はい、お願いします！ピタゴラスの定理。
-彼女の何が問題になっていますか？
-はい、そうではありません！「ピタゴラスのズボンはすべての面で同じです」とあなたは見ます。ピタゴラスの時代、ギリシャ人はズボンをはいていないことをご存知ですか？ピタゴラスはどうして彼が知らなかったことについて推論することができたのでしょうか？
-ちょっと待って。ズボンはそれと何の関係がありますか？
-まあ、彼らはピタゴロフのようですか？か否か？ピタゴラスにはズボンがなかったことを認めますか？
-ええと、もちろん、そうではありませんでした...
-ええ、それは定理のタイトルそのものに明らかな矛盾があることを意味します！その後、どのようにそれが言うことを真剣に受け止めることができますか？
- ちょっと待って。ピタゴラスはズボンについて何も言わなかった...
-認めますよね？
-はい...では、続行できますか？ピタゴラスはズボンについて何も言わなかったし、他人のナンセンスを彼に帰する必要はない...
-ええ、あなた自身はこれがすべてナンセンスであることに同意します！
-言わなかった！
-言ったばかりです。あなたは自分自身と矛盾しています。
-そう。やめる。ピタゴラスの定理は何と言っていますか？
-すべてのズボンが等しいこと。
-くそー、あなたはこの定理を読んだことがありますか？！
-知っている。
-どこ？
-私は読む。
-何を読みましたか？
-ロバチェフスキー。
*一時停止*
-申し訳ありませんが、ロバチェフスキーはピタゴラスと何の関係がありますか？
-まあ、ロバチェフスキーも数学者であり、彼はピタゴラスよりもさらにクールな権威のようです、ノーと言いますか？
*はぁ*
-さて、ロバチェフスキーはピタゴラスの定理について何と言いましたか？
-ズボンが等しいこと。しかし、これはナンセンスです！どうやってそのようなズボンを履くことができますか？その上、ピタゴラスはズボンをまったく着ていませんでした！
-ロバチェフスキーはそう言った？！
*自信を持って2回目の一時停止*
-はい！
-書かれている場所を見せてください。
-いいえ、まあ、そこに直接書かれているわけではありません...
-この本の名前は？
-はい、これは本ではなく、新聞の記事です。ロバチェフスキーが実際にドイツの諜報機関の代理人であったという事実について...まあ、これは重要なことではありません。とにかく、彼はおそらくそう言ったでしょう。彼は数学者でもあるので、彼とピタゴラスは同時にいます。
-ピタゴラスはズボンについて何も言わなかった。
-はい、そうです！それとスピーチについて。それはすべてでたらめです。
-順番に来ましょう。ピタゴラスの定理が何を言っているかを個人的にどのように知っていますか？
-ああ、さあ！誰もがそれを知っています。誰かに聞いてください、彼らはすぐにあなたに答えます。
-ピタゴラスのズボンはズボンではありません...
-そしてもちろん！これは寓話です！私がこれを何回聞いたか知っていますか？
-ピタゴラスの定理は、脚の二乗の合計が斜辺の二乗に等しいと言っています。そしてすべて！
-ズボンはどこにありますか？
-はい、ピタゴラスにはズボンがありませんでした!!!
-ええと、そうですね、私はそれについて話しているのです。あなたの数学はすべてでたらめです。
-そしてそれはでたらめではありません！自分で見てください。これが三角形です。これが斜辺です。ここに足があります...
-そして、なぜ突然これが脚であり、これが斜辺なのですか？多分その逆？
-番号。脚は直角を形成する2つの側面です。
-さて、ここにあなたのためのもう一つの直角があります。
-彼はまっすぐではありません。
-曲がった彼は何ですか？
-いいえ、辛いです。
-だからこれもシャープです。
-シャープではなく、ストレートです。
-ご存知のように、私をだましてはいけません！結果を希望の結果に調整するために、好きな名前を付けるだけです。
-直角三角形の2つの短辺は脚です。長辺は斜辺です。
-そして誰が短いですか-その足？そして、斜辺はもはや転がっていませんか？あなた自身、外からあなた自身に耳を傾けてください、あなたが話しているナンセンスは何ですか。それは21世紀であり、民主主義の繁栄であり、あなたにはある種の中世があります。彼の側は、あなたが見るように、不平等です...
-辺が等しい直角三角形は存在しません...
-本気ですか？あなたのために描きましょう。ここを見てください。長方形？長方形。そして、すべての側面が等しいです！
-あなたは正方形を描きました。
-だから何？
-正方形は三角形ではありません。
-そしてもちろん！合わなくなったらすぐに「三角形じゃない」！ばかにしないでよ。自分で数えてください：1つのコーナー、2つのコーナー、3つのコーナー。
-四。
-だから何？
-それは正方形です。
-そして、三角形ではなく正方形ですか？彼はもっと悪いですよね？描いたからといって？ 3つのコーナーはありますか？あり、ここにもスペアが1つあります。さて、ここには何もありません、あなたは知っています...
-さて、このトピックはそのままにしておきましょう。
-ええ、もうあきらめていますか？議論することは何もありませんか？あなたは数学がでたらめだと認めますか？
-いいえ、しません。
-まあ、もう一度、素晴らしい！私はあなたにすべてを詳細に証明しました！すべてのジオメトリがピタゴラスの教えに基づいている場合、申し訳ありませんが、それは完全にナンセンスです...それでは、さらに何について話すことができますか？
-ピタゴラスの教えはナンセンスではありません...
-まあ、なんと！そして、私はピタゴラスの学校について聞いたことがありません！あなたが知りたいのなら、彼らは乱交にふけっています！
-それはそれと何の関係がありますか...
-そして、ピタゴラスは一般的にファゴットでした！彼自身、プラトンは彼の友達だと言っていました。
-ピタゴラス？！
-知らなかった？はい、それらはすべてファゴットでした。そして頭に3つ。 1つは樽の中で眠っていて、もう1つは裸で街を走り回っていました...
-ディオゲネスは樽の中で眠りましたが、彼は哲学者であり、数学者ではありませんでした...
-そしてもちろん！誰かが樽に登った場合、彼らはもはや数学者ではありません！なぜ私たちは余分な恥が必要なのですか？私たちは知っている、私たちは知っている、合格した。しかし、3000年前に住んでいてズボンなしで走ったあらゆる種類のファゴットがなぜ私にとって権威であるべきなのかを私に説明しますか？いったいなぜ私は彼らの見解を受け入れるべきなのでしょうか？
-さて、去ります...
-いいえ、聞いてください！結局、私もあなたの話を聞きました。これらはあなたの計算、計算です...あなたはすべて数える方法を知っています！そして、本質的に、すぐそこに何かを尋ねてください。「これは商であり、これは変数であり、これらは2つの未知数です。」そして、あなたは詳細なしで、o-o-o-generalで私に言います！そして、未知の、未知の、実存的なものがなければ...それは私を病気にします、あなたは知っていますか？
-理解。
-ええと、なぜ2回2回が常に4回なのか説明してください。誰がこれを発明したのですか？そして、なぜ私はそれを当然のことと見なす義務があり、疑う権利がないのですか？
-はい、好きなだけ疑ってください...
-いいえ、あなたは私に説明します！あなたのこれらのものがないだけですが、それは人間的には正常なので、それは明らかです。
-2の2倍は4に等しいので、2の2倍は4に等しい。
-オイルオイル。何を新しく教えてくれましたか？
-2 x2は2x2です。 2つと2つを取り、それらを追加します...
-では、加算または乗算しますか？
-これは同じです...
-両方オン！それで、7と8を足して掛けると、それも同じことですか？
-番号。
-なぜ？
-7プラス8は等しくないので...
-そして、9を2で掛けると、4になりますか？
-番号。
-なぜ？私は2を掛けました-それはうまくいきました、しかし9で突然不機嫌になりましたか？
-はい。 2回9-18。
-そして2回7？
-14。
-そして2回5？
-十。
-つまり、4つは1つの特定のケースでのみ判明しますか？
-丁度。
-今、自分で考えてください。掛け算には厳しい法則やルールがあるとおっしゃっています。それぞれの特定のケースで異なる結果が得られた場合、ここでどのような法律について話すことができますか？！
-それは完全に真実ではありません。結果が同じになる場合があります。たとえば、6の2倍は12に相当します。そして4回3回-あまりにも...
-悪い！ 2、6、3、4-何もありません！結果が初期データにまったく依存していないことがわかります。同じ決定が2つの根本的に異なる状況で行われます！そして、これは、私たちが絶えず取り、何も変わらない同じ2つが、すべての数値で常に異なる答えを与えるという事実にもかかわらずです。論理はどこにあるのだろうか。
-しかし、これもまた論理的です！
-あなたのために-多分。あなたの数学者はいつもあらゆる種類のとんでもないがらくたを信じています。そして、あなたのこれらの計算は私を納得させません。そして、あなたはその理由を知っていますか？
-どうして？
-私が 知っているなぜあなたの数学が本当に必要なのですか。それはすべて何に要約されますか？「カティアはポケットにリンゴを1つ持っていて、ミシャは5つ持っています。ミシャがカティアに同じリンゴを与えるには、いくつのリンゴを渡さなければなりませんか？」そして、あなたは私があなたに言うことを知っていますか？ミーシャ 誰にも負っていない与える！ Katyaにはリンゴが1つあります-それで十分です。彼女にとってそれは十分ではありませんか？彼を仕事に行かせて、少なくともリンゴ、少なくとも梨、少なくともシャンパンのパイナップルのために正直に自分自身を稼ぎましょう。そして、誰かが仕事をしたくないが、問題を解決するためだけにしたいのなら、彼にリンゴを1つ持って座って、見せびらかさないようにしましょう！

ローマの建築家ウィトルウィウスは、「人間の生活の発展にサービスを提供した数多くの発見から」ピタゴラスの定理を選び出し、それを最大限の敬意を持って扱うよう求めました。それは紀元前1世紀に戻った。 NS。 XVI-XVII世紀の変わり目に、有名なドイツの天文学者ヨハネスケプラーはそれを金の量に匹敵する幾何学の宝物の1つと呼びました。科学的および実用的な応用の数に関して、ピタゴラスの定理に匹敵するものがないため、すべての数学でより重要で重要なステートメントが存在する可能性は低いです。

二等辺直角三角形の場合のピタゴラスの定理。

科学と生命//イラスト

「測定極の論文」（中国、紀元前3世紀）からのピタゴラス定理の図解とそれに基づいて再構築された証明。

科学と生命//イラスト

S.パーキンス。ピタゴラス。

ピタゴラスの可能な証拠の青写真。

「ピタゴラスのモザイク」とピタゴラスの定理の証明における3つの正方形のナイリジタイリング。

P.デホーホ。中庭のホステスとメイド。 1660年頃。

J.オーターベルト。金持ちの家のドアでさまようミュージシャン。 1665年。

ピタゴラスパンツ

ピタゴラスの定理は、おそらく数学の歴史の中で最も認識され、間違いなく最も有名です。幾何学では、それは文字通りすべてのステップで使用されます。その定理の単純さにもかかわらず、この定理は決して明白ではありません：辺が< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

図に示す図。 1と2は、正方形とその等しい部分の最も単純な装飾に似ています。これは、太古の昔から知られている幾何学模様です。彼らは飛行機を完全に覆うことができます。数学者は、このような平面の覆いをポリゴンの寄木細工、またはタイリングと呼びます。ピタゴラスはそれと何の関係がありますか？彼が通常の寄木細工の問題を最初に解決したことが判明し、それがさまざまな表面のタイリングの研究を開始しました。したがって、ピタゴラスは、点の周りの平面が、6つの三角形、4つの正方形、3つの六角形の3つのタイプの等しい正多角形によってギャップなしでカバーできることを示しました。

4000年後

ピタゴラス定理の歴史は古代にまでさかのぼります。それは、ハンムラビ王（紀元前18世紀）の時代、つまりピタゴラスの誕生の1200年前のバビロニアの楔形文字のテキストで言及されています。この定理は、多くの問題で既成の規則として使用されました。最も単純なのは、正方形の辺に沿って対角線を見つけることです。バビロニア人は、等式a 2 + a 2 = c 2を単に「一般化」することにより、任意の直角三角形の比率a 2 + b 2 = c2を取得した可能性があります。しかし、それは彼らにとって許されます-測定と計算に還元された古代人の実際の幾何学のために、厳密な正当化は必要ありませんでした。

現在、ほぼ4、000年後、可能な証明の数の記録を保持する定理を扱っています。ちなみに、それらを集めることは長い伝統です。ピタゴラス定理への関心のピークは、19世紀後半から20世紀初頭に落ちました。そして、最初のコレクションに含まれるプルーフが2、3ダース以下の場合、19世紀の終わりまでにその数は100に近づき、さらに半世紀後には360を超えました。これらは、さまざまなソースから収集されたものだけです。著名な科学者や科学の普及者から国会議員や学童まで、この時代を超えた問題の解決に着手していないのは誰でしょう。そして注目すべきは、ソリューションの独創性とシンプルさにおいて、一部のアマチュアはプロに劣っていませんでした！

ピタゴラスの定理の最も古い生き残った証拠は約2300年前のものです。それらの1つ（厳密な公理）は、紀元前4〜3世紀に住んでいた古代ギリシャの数学者ユークリッドに属しています。 NS。要素の本Iでは、ピタゴラスの定理は提案47としてリストされています。最もグラフィックで美しい証拠は、「ピタゴラスのズボン」の形状変更に基づいています。彼らはトリッキーな四角いパズルのように見えます。しかし、ピースを正しく動かすと、有名な定理の秘密が明らかになります。

これは1つの古代中国の論文（図3）からの図面に基づいて得られたエレガントな証拠であり、正方形の面積を2倍にする問題との関係がすぐに明らかになります。

イギリスの作家オルダス・ハクスリーの短編小説「リトル・アルキメデス」の早熟な英雄である7歳のグイドが彼の若い友人に説明しようとしたのはこの証拠でした。この写真を観察したナレーターが証拠の単純さと説得力に気づいたのは不思議なことで、彼はそれを...ピタゴラス自身に帰した。しかし、エフゲニー・ヴェルティストフの幻想的な物語「電子-スーツケースの少年」の主人公は、ユークリッドによって与えられたものを含む、ピタゴラスの定理の25の証明を知っていました。確かに、彼はそれを誤って最も単純だと呼んでいましたが、実際には「Elements」の現代版では1.5ページを占めています！

最初の数学者

サモスのピタゴラス（紀元前570年から495年）は、その名前が長い間注目に値する定理と密接に関連しており、ある意味で最初の数学者と呼ぶことができます。数学が正確な科学として始まるのは彼と共にあり、新しい知識は経験から導き出された視覚的表現や規則の結果ではなく、論理的推論と結論の結果です。これは、数学的な命題の真実を一度だけ確立する唯一の方法です。ピタゴラス以前は、演繹法は、紀元前7〜6世紀の変わり目に住んでいた古代ギリシャの哲学者で科学者のタレスオブミレタスによってのみ使用されていました。 NS。彼は証明のアイデアそのものを表現しましたが、原則として、「直径が円を半分に分割する」などの明白な幾何学的ステートメントに体系的、選択的に適用しませんでした。ピタゴラスはさらに進んだ。彼は最初の定義、公理、証明方法を紹介し、「ピタゴラスの伝統」という名前で古代ギリシャ人に知られている幾何学の最初のコースを作成したと考えられています。彼はまた、数論と立体幾何学の起源に立っていました。

ピタゴラスのもう1つの重要なメリットは、1世紀以上にわたって古代ギリシャでのこの科学の発展を決定した、栄光ある数学者学校の設立です。「数学」という用語（ギリシャ語のμαθημa-教育、科学から）も彼の名前に関連付けられており、ピタゴラスとその支持者であるピタゴラスによって作成された知識システムの4つの関連分野、幾何学、算術、天文学、調和を統合しています。

ピタゴラスの業績を彼の生徒の業績から分離することは不可能です。習慣に従って、彼らは彼ら自身の考えと発見を彼らの教師に帰しました。初期のピタゴラス教徒は作曲を残さず、すべての情報を互いに口頭で伝えました。したがって、2500年後、歴史家は他の、後の著者の転写に基づいて失われた知識を再構築する以外に選択肢はありません。ギリシャ人に敬意を表しましょう。彼らはピタゴラスの名前を多くの伝説で囲みましたが、彼が発見したり理論に発展させたりすることができなかったものは何も彼に帰しませんでした。そして彼の名を冠した定理も例外ではありません。

そのような単純な証拠

ピタゴラス自身が直角三角形の辺の長さの関係を発見したのか、それともこの知識を借りたのかは不明です。古代の作家たちは、彼自身が、彼の発見に敬意を表して、ピタゴラスが雄牛を犠牲にした方法の伝説を再び語ることを愛したと主張しました。現代の歴史家は、彼がバビロニア人の数学に精通することによって定理について学んだと信じる傾向があります。また、ピタゴラスがどのような形で定理を定式化したのかもわかりません。今日の慣例のように、斜辺の二乗は脚の二乗の合計に等しいか、幾何学的には古代の精神で-a直角三角形の斜辺に構築された正方形は、彼の足に構築された正方形の合計に等しくなります。

彼の名を冠した定理の最初の証明を与えたのはピタゴラスであったと信じられています。もちろん、それは生き残っていません。あるバージョンによると、ピタゴラスは彼の学校で開発された比例の教義を使用することができました。これは、特に、推論の基礎となる類似性の理論に基づいていました。脚aとbを斜辺cまでの高さで直角三角形に描きます。元の三角形を含め、3つの類似した三角形が得られます。それぞれの辺は比例しており、a：c = m：aおよびb：c = n：bであり、ここでa 2 = cmおよびb2 = cnです。次に、a 2 + b 2 = = c・（m + n）= c 2（図4）。

これは科学史家の一人によって提案された単なる再構成ですが、証明は非常に単純です。数行しかかからず、何も完了、再描画、計算する必要はありません...驚くことではありません。それは何度も再発見されました。たとえば、ピサのレオナルドによる「幾何学の実践」（1220）に含まれており、教科書にも引用されています。

この証明は、通約可能性に関するピタゴラス教徒の考えと矛盾しませんでした。当初、彼らは、任意の2つのセグメントの長さの比率、したがって直線図形の面積は自然数を使用して表現できると信じていました。彼らは他の数を考慮せず、分数さえも許可せず、比率1：2、2：3などに置き換えました。しかし、皮肉なことに、ピタゴラス教徒が対角線の通約不可能性を発見したのはピタゴラスの定理でした。正方形とその側面の。この対角線の長さを数値で表すすべての試み（単位正方形の場合は√2に等しい）は、どこにもつながりませんでした。問題が解決できないことを証明する方が簡単であることが判明しました。そのような場合、数学者は証明された方法を持っています-矛盾による証明。ちなみに、彼はピタゴラスにも起因しています。

自然数で表現されていない関係の存在は、ピタゴラス教徒の多くの考えに終止符を打ちました。彼らが知っている数は、すべての幾何学は言うまでもなく、単純な問題でさえ解決するのに十分ではないことが明らかになりました！この発見は、ギリシャの数学の発展におけるターニングポイントであり、その中心的な問題でした。第一に、それは通約不可能な量の教義の発展につながりました-非合理性、そして次に-数の概念の拡大につながりました。言い換えれば、実数のセットの研究の何世紀も前の歴史は彼から始まりました。

ピタゴラスのモザイク

平面を2つの異なるサイズの正方形で覆い、それぞれの小さな正方形を4つの大きな正方形で囲むと、「ピタゴラスモザイク」寄木細工の床になります。そのようなパターンは長い間石の床を飾り、ピタゴラスの定理の古代の証明を思い起こさせます（そのためその名前が付けられました）。さまざまな方法で寄木細工の床に正方形のグリッドを適用することにより、さまざまな数学者によって提案された直角三角形の側面に構築された正方形のパーティションを取得できます。たとえば、すべてのノードが小さな正方形の右上の頂点と一致するようにグリッドを配置すると、図面の断片が表示され、中世のペルシャの数学者アルナイリジがユークリッドのコメントに配置したことを証明します。始まり。寄木細工の元の要素である大小の正方形の面積の合計が、それに重ねられたグリッドの1つの正方形の面積に等しいことは簡単にわかります。これは、指定されたパーティションが寄木細工の床を敷設するのに本当に適していることを意味します。図に示すように、結果のポリゴンを正方形に接続することで、ギャップやオーバーラップなしで平面全体を埋めることができます。

創造性の可能性は通常、人文科学に起因し、自然科学には分析、実用的なアプローチ、数式と数値の乾いた言葉が残されています。数学は人道的主題に帰することはできません。しかし、「すべての科学の女王」の創造性がなければ、遠くまで行くことはできません。人々はこれについて長い間知っていました。たとえば、ピタゴラスの時代から。

残念ながら、学校の教科書は通常、数学では定理、公理、公式を詰め込むだけでなく重要であると説明していません。その基本原則を理解し、感じることが重要です。そして同時に、決まり文句や基本的な真実からあなたの心を解放しようとします-そのような状況でのみ、すべての素晴らしい発見が生まれます。

これらの発見には、今日私たちがピタゴラスの定理として知っているものが含まれています。その助けを借りて、私たちは数学ができるだけでなく、刺激的であるべきであることを示すように努めます。そして、この冒険は厚い眼鏡のオタクだけでなく、心と精神が強いすべての人に適しています。

問題の歴史から

厳密に言えば、この定理は「ピタゴラス定理」と呼ばれていますが、ピタゴラス自身はそれを発見していませんでした。直角三角形とその特殊な特性は、それよりずっと前に研究されていました。この問題には2つの反対の見方があります。あるバージョンによると、ピタゴラスは定理の完全な証拠を最初に見つけました。別の人によると、その証拠はピタゴラスの作者のものではありません。

今日、誰が正しいのか、誰が間違っているのかを確認することはできません。ピタゴラスの証拠が存在したとしても、それが生き残っていないことだけが知られています。しかし、ユークリッドの「要素」からの有名な証拠はピタゴラスに属するかもしれないという提案があり、ユークリッドはそれを記録しただけです。

直角三角形に関する問題は、ファラオアメネムケット1世の時代のエジプトの情報源、ハンムラビ王の治世中のバビロニアの粘土板、古代インドの論文「Sulvasutra」および古代中国人に見られることも今日知られています。作曲「周毖スアンジン」。

ご覧のとおり、ピタゴラスの定理は古代から数学者の心を占領してきました。今日も約367の異なる証拠が存在します。これでは、他の定理はそれと競合することはできません。著名なプルーフライターには、レオナルドダヴィンチと米国の第20代大統領ジェームズガーフィールドが含まれます。これはすべて、数学にとってこの定理の非常に重要なことを物語っています。幾何学の定理のほとんどは、それから、または何らかの方法でそれに関連して導き出されています。

ピタゴラス定理の証明

学校の教科書では、主に代数的な証明が与えられています。しかし、定理の本質は幾何学にあるので、まず、この科学に基づいた有名な定理の証明について考えてみましょう。

証明1

直角三角形のピタゴラス定理を最も簡単に証明するには、理想的な条件を設定する必要があります。直角三角形だけでなく、二等辺三角形も設定します。この三角形はもともと古代の数学者によって考えられていたと信じる理由があります。

声明 「直角三角形の斜辺上に構築された正方形は、その脚上に構築された正方形の合計に等しい」次の図で説明できます。

二等辺直角三角形ABCを見てください。斜辺ACでは、元のABCに等しい4つの三角形で構成される正方形を作成できます。また、脚ABとBCには正方形が組み込まれており、それぞれに2つの類似した三角形が含まれています。

ちなみに、この絵は、ピタゴラスの定理に捧げられた数多くの逸話や漫画の基礎を形成しました。おそらく最も有名なのは 「ピタゴラスのズボンはすべての方向で等しい」:

証明2

この方法は、代数と幾何学を組み合わせたものであり、数学者バスカリの古代インドの証明の変形と見なすことができます。

辺のある直角三角形を作成します a、b、c（図1）。次に、2つの脚の長さの合計に等しい辺を持つ2つの正方形を作成します- （a + b）..。各正方形で、図2および3のように構成します。

最初の正方形で、図1と同じ三角形を4つ作成します。その結果、2つの正方形が得られます。1つは辺がaで、もう1つは辺があります。 NS.

2番目の正方形では、4つの同様に作成された三角形が、斜辺に等しい辺を持つ正方形を形成します。 NS.

図2で作成された正方形の面積の合計は、図3で辺cを使用して作成した正方形の面積に等しくなります。これは、図の正方形の面積を計算することで簡単に確認できます。 2式による。そして、図3の内接正方形の面積は、直角三角形に内接する4つの等しい面積を、一辺のある大きな正方形の面積から差し引くことによって （a + b）.

これをすべて書き留めると、次のようになります。 a 2 + b 2 =（a + b）2-2ab..。角かっこを展開し、必要な代数計算をすべて実行して、それを取得します a 2 + b 2 = a 2 + b 2..。この場合、図3に内接する領域。正方形は、従来の式を使用して計算できます S = c 2..。それらの。 a 2 + b 2 = c 2-あなたはピタゴラスの定理を証明しました。

証明3

まったく同じ古代インドの証拠は、12世紀に「知識の王冠」（「シッダンタ・シロマーニ」）という論文で説明されており、主な議論として、著者は数学の才能と学生と信者の観察に向けられた魅力を使用しています。見て！"

しかし、この証明をより詳細に分析します。

正方形の内側に、図に示されているように4つの直角三角形を描きます。大きな正方形の側面、それは斜辺でもあります、私たちは示しますと..。三角形の脚は呼ばれます NSと NS..。図面によると、内側の正方形の側面は （a-b）.

正方形の数式の面積を使用する S = c 2外側の正方形の面積を計算します。同時に、内側の正方形の面積と4つの直角三角形すべての面積を追加して同じ値を計算します： （a-b）2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.

正方形の面積を計算するために両方のオプションを使用して、同じ結果が得られることを確認できます。そしてそれはあなたにそれを書き留める権利を与えます c 2 =（a-b）2 + 4 * 1 \ 2 * a * b..。解の結果として、ピタゴラス定理の公式を受け取ります。 c 2 = a 2 + b 2..。定理が証明されます。

証明4

この好奇心旺盛な古代中国の証拠は「花嫁の椅子」と呼ばれています-すべての構造の結果として得られる椅子のような姿のために：

これは、2番目の証明で図3ですでに見た図面を使用しています。そして、辺cの内側の正方形は、上記の古代インドの証明と同じ方法で作成されます。

図1の図から2つの緑色の直角三角形を精神的に切り取り、それらを辺cと斜辺のある正方形の反対側に移動し、ライラック三角形の斜辺に取り付けると、「花嫁の椅子」と呼ばれる図が得られます。（図2）。わかりやすくするために、紙の正方形と三角形でも同じことができます。「花嫁の椅子」は2つの正方形で形成されていることがわかります。 NS側面が大きくて大きい NS.

これらの構造により、古代中国の数学者は、その後、次のような結論に達することができました。 c 2 = a 2 + b 2.

証明5

これは、幾何学に依存して、ピタゴラス定理の解を見つける別の方法です。それはガーフィールド法と呼ばれています。

直角三角形を作成します ABC..。それを証明する必要があります BC 2 = AC 2 + AB 2.

これを行うには、脚を続けます なので線分を描きます CDこれは脚に等しい AB..。垂線を下げる広告セクション ED..。セグメント EDと なのでは同じ。点を結びます Eと V、と Eとと下の写真のように図面を取得します。

塔を証明するために、私たちはすでに試した方法に頼ります：2つの方法で結果の図の領域を見つけて、式を互いに等しくします。

ポリゴンの領域を見つける ベッドそれを形成する3つの三角形の領域を追加することで可能です。そしてそのうちの1つ、 ERUは、長方形であるだけでなく、二等辺三角形でもあります。それも忘れないでください AB = CD, AC = EDと BC = CE-これにより、記録を簡素化し、過負荷にしないようにすることができます。そう、 S ABED = 2 * 1/2（AB * AC）+ 1 / 2BC 2.

さらに、それは明らかです ベッド台形です。したがって、次の式で面積を計算します。 S ABED =（DE + AB）* 1 / 2AD..。私たちの計算では、セグメントを表す方が便利で明確です広告セグメントの合計として なのでと CD.

図形の面積を計算する両方の方法を書いて、それらの間に等号を入れましょう： AB * AC + 1 / 2BC 2 =（DE + AB）* 1/2（AC + CD）..。表記の右側を単純化するために、すでにわかっていて上記で説明したセグメントの等価性を使用します。 AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2（AB + AC）2..。次に、角かっこを展開して、等式を変換しましょう。 AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2（AB * AC）+ 1 / 2AB 2..。すべての変換が完了すると、必要なものが正確に得られます。 BC 2 = AC 2 + AB 2..。私たちはその定理を証明しました。

もちろん、この証拠のリストは完全ではありません。ピタゴラスの定理は、ベクトル、複素数、微分方程式、立体測定などを使用して証明することもできます。そして物理学でさえ：たとえば、液体が図面に示されているものと同様の正方形および三角形のボリュームに注がれる場合。液体を注ぐことにより、結果として面積と定理自体の同等性を証明することができます。

ピタゴラストリプレットについての一言

この問題は、学校のカリキュラムではほとんどまたはまったく研究されていません。それでも、それは非常に興味深く、幾何学において非常に重要です。ピタゴラストリプレットは、多くの数学的問題を解くために使用されます。それらのアイデアは、あなたのさらなる教育に役立つ可能性があります。

では、ピタゴラストリプレットとは何ですか？これは、3つに集められた自然数の名前であり、そのうちの2つの2乗の合計は、3番目の2乗に等しくなります。

ピタゴラストリプレットは次のようになります。

プリミティブ（3つの数はすべて互いに素です）;
プリミティブではありません（トリプルの各数値に同じ数値を掛けると、プリミティブではない新しいトリプルが得られます）。

私たちの時代の前でさえ、古代エジプト人は多くのピタゴラストリプレットのマニアに魅了されていました。問題では、彼らは辺が3、4、5単位の直角三角形を考えていました。ちなみに、辺がピタゴラストリプレットの数と等しい三角形は、デフォルトでは長方形です。

ピタゴラストリプレットの例：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）、（9、12、15）、（8、15、17）、（12、16、 20））、（15、20、25）、（7、24、25）、（10、24、26）、（20、21、29）、（18、24、30）、（10、30、34 ）、（21、28、35）、（12、35、37）、（15、36、39）、（24、32、40）、（9、40、41）、（27、36、45）、（14、48、50）、（30、40、50）など。

定理の実用化

ピタゴラスの定理は、数学だけでなく、建築や建設、天文学、さらには文学にも応用されています。

まず、構築について：ピタゴラスの定理は、さまざまなレベルの複雑さの問題に幅広く適用されます。たとえば、ロマネスク様式のウィンドウを見てみましょう。

ウィンドウ幅を次のように表します。 NSの場合、半円の半径は次のように表すことができます。 NSと表現する b：R = b / 2..。小さい半円の半径は、次のように表すこともできます。 b：r = b / 4..。この問題では、ウィンドウの内側の円の半径に関心があります（これを呼びましょう） NS).

ピタゴラスの定理は計算に役立ちます NS..。これを行うには、図の点線で示されている直角三角形を使用します。三角形のhypotenuseは、2つの半径で構成されます。 b / 4 + p..。片足は半径です b / 4、別 b / 2-p..。ピタゴラスの定理を使用して、次のように記述します。 （b / 4 + p）2 =（b / 4）2 +（b / 2-p）2..。次に、角かっこを開いて取得します b 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2 / 4-bp + p 2..。この式をに変換します bp / 2 = b 2 / 4-bp..。そして、すべての用語をで除算します NS、私たちは取得するために同様のものを与えます 3/2 * p = b / 4..。そして最終的に私たちはそれを見つけるでしょう p = b / 6-これが私たちに必要なものです。

定理を使用して、切妻屋根の垂木の長さを計算できます。信号が特定の集落に到達するために必要なモバイルタワーの高さを決定します。そして、町の広場に恒久的にクリスマスツリーを設置することさえできます。ご覧のとおり、この定理は教科書のページだけでなく、実際の生活でも役立つことがよくあります。

文学に関しては、ピタゴラスの定理は古代から作家に影響を与えてきており、私たちの時代にもそうし続けています。たとえば、19世紀のドイツの作家アデルベルトフォンシャミッソは、ソネットを書くように促されました。

真実の光はすぐに消えることはありません、
しかし、輝いて、それはほとんど消えません
そして、数千年前のように、
疑いや論争を引き起こしません。

それが目に触れたときに最も賢い
神々のおかげで、真実の光。
そして、100頭の雄牛が刺されて嘘をついた-
幸運なピタゴラスからの相互の贈り物。

それ以来、雄牛は必死に咆哮しています：
雄牛の部族に永遠に警戒
ここで言及されているイベント。

彼らにはそう思われます：時が来ようとしています
そして再び彼らは犠牲になります
いくつかの素晴らしい定理。

（Viktor Toporovによる翻訳）

そして20世紀、ソビエトの作家イェフゲニーベルティストフは、彼の著書「電子工学の冒険」でピタゴラスの定理の証明に全章を捧げました。そして、ピタゴラスの定理が基本法となり、単一の世界の宗教にさえなった場合に存在する可能性のある、2次元世界の物語の半章。そこに住むほうがはるかに簡単ですが、退屈なこともあります。たとえば、「丸い」や「ふわふわ」という言葉の意味を理解している人は誰もいません。

そして、本「電子工学の冒険」の中で、著者は数学の教師タラタールの口を通して、「数学の主なものは思考の動き、新しいアイデアです」と述べています。ピタゴラスの定理を生み出すのは、この創造的な思考の流れです。これほど多くの異なる証拠があるのは当然のことです。慣れ親しんだものの境界を越えて、慣れ親しんだものを新しい方法で見るのに役立ちます。

結論

この記事は、数学の学校のカリキュラムを超えて、教科書「Geometry 7-9」（L。S。Atanasyan、V。N。Rudenko）および「Geometry7」に記載されているピタゴラス定理の証明だけでなく、それを見つけることができるように作成されました。 -11 "（AV Pogorelov）だけでなく、有名な定理を証明する他の奇妙な方法。また、ピタゴラスの定理を日常生活にどのように適用できるかの例もご覧ください。

まず、この情報により、数学の授業でより高いスコアを取得できるようになります。追加の情報源からの主題に関する情報は常に高く評価されています。

第二に、私たちはあなたが数学がどれほど面白いかを感じ取るのを手伝いたかったのです。具体的な例を挙げて、創造性を発揮する場所が常にあることを確認してください。ピタゴラスの定理とこの記事が、数学やその他の科学におけるあなたの独立した探求と刺激的な発見を刺激することを願っています。

この記事の証拠がおもしろいと思ったら、コメントで教えてください。この情報はあなたの研究に役立ちましたか？ピタゴラスの定理とこの記事についてあなたがどう思うかを私たちに書いてください-私たちはあなたとこれらすべてについて話し合うことを嬉しく思います。

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「ピタゴラスのズボンはすべての面で平等です。
それを証明するには、撮影して上映する必要があります。」

この韻は、幾何学の授業で有名なピタゴラスの定理を研究したときから、高校時代から誰もが知っています。直角三角形の斜辺の長さの2乗は、脚の2乗の合計に等しくなります。ピタゴラス自身はズボンを着用したことはありませんでしたが、当時ギリシャ人はズボンを着用していませんでした。ピタゴラスとは誰ですか？
緯度からのサモスのピタゴラス。ピタゴラス、ピタゴラス放送局（紀元前570〜490年）-古代ギリシャの哲学者、数学者、神秘家、ピタゴラスの宗教哲学学校の創設者。
彼の教師の相反する教えの中で、ピタゴラスは生きたつながり、単一の偉大な全体の統合を探していました。彼は自分自身に目標を設定しました-真実の光につながる道を見つけること、つまり、団結して人生を知ることです。この目的のために、ピタゴラスは古代世界全体を訪れました。彼は、すべての宗教、教義、カルトを研究することによって、すでに広い視野を広げるべきだと信じていました。彼はラビの中に住み、イスラエルの立法者であるモーセの秘密の伝統について多くを学びました。それから彼はエジプトを訪れ、そこでアドニスの謎を解き明かし、ユーフラテス渓谷を何とか越えた後、彼らの秘密の知恵を採用するためにカルデア人と長い間滞在しました。ピタゴラスは、ヒンドゥスターンとバビロンを含むアジアとアフリカを訪問しました。バビロンでは、彼は魔術師の知識を学びました。
ピタゴラス教徒のメリットは、世界の発展の量的法則に関するアイデアの進歩であり、それは数学的、物理的、天文学的、地理的知識の発展に貢献しました。物事の中心にあるのは、ピタゴラスが教えた数です。世界を知ることは、それを支配する数を知ることを意味します。数を研究して、ピタゴラス教徒は数値的な関係を発展させ、人間の活動のすべての分野でそれらを見つけました。ピタゴラスは密かに教え、書かれた作品を残しませんでした。ピタゴラスは数を非常に重要視していました。彼の哲学的見解は、主に数学的概念によるものです。彼は、「すべては数である」、「すべては数である」と述べ、世界を理解する上での一方の側面、つまり数値表現によるその測定可能性を強調しました。ピタゴラスは、数が道徳的および精神的な資質を含むすべてのものを所有していると信じていました。彼は（アリストテレスによれば）「正義は...それ自体を掛けた数である」と教えた。彼は、すべてのオブジェクトに、その変更可能な状態に加えて、不変の存在、不変の実体があると信じていました。これが番号です。したがって、ピタゴラス教の主な考え：数は存在するすべての基礎です。ピタゴラス教徒は、現象の隠された意味、自然の法則の説明を数学的関係で見ました。ピタゴラスによれば、数には時代を超越した性質があるため、思考の対象は感覚認知の対象よりも現実的です。永遠に。それらは物事の現実よりも高い一種の現実です。ピタゴラスは、1つの数値プロパティのみを除いて、オブジェクトのすべてのプロパティを破棄したり、変更したりできると述べています。このプロパティは1つです。ユニットとは、破壊不可能で破壊不可能で不変の物の存在です。オブジェクトを小さな粒子に分割します。各粒子は1つになります。ピタゴラスは、数の存在が唯一の不変の存在であると主張し、すべての物体は数のコピーの本質であるという結論に達しました。
1つは絶対数です。1つは永遠です。ユニットは他のものと関係がある必要はありません。それはそれ自体で存在します。 2つは1対1の関係にすぎません。すべての数字は
数値関係単位、その修正。そして、存在のすべての形態は、無限の特定の側面にすぎず、したがってユニットです。オリジナルのOneにはすべての数字が含まれているため、全世界の要素が含まれています。オブジェクトは抽象的な存在の本当の現れです。ピタゴラスは、すべてのものが入っている宇宙を、番号によって確立された順序として最初に指定しました。この秩序は心に利用可能であり、それによって実現され、まったく新しい方法で世界を見ることができます。
ピタゴラスによれば、世界を知るプロセスは、それを支配する数を知るプロセスです。ピタゴラスの後、宇宙は宇宙の数によって順序付けられたように見られ始めました。
ピタゴラスは、人間の魂は不滅であると教えました。彼は魂の転生のアイデアを所有しています。彼は、世界で起こるすべてが一定期間後に何度も繰り返され、しばらくすると故人の魂が他の人に移ると信じていました。魂は、数として、ユニットです。魂は本質的に完璧です。しかし、すべての完璧さは、それが動き出すので、以前の完璧な状態を取り戻そうとしますが、不完全になります。ピタゴラスは、統一の不完全さからの逸脱を呼びました。したがって、2は呪われた数と見なされました。人の魂は比較的不完全な状態にあります。それは3つの要素で構成されています：知性、知性、情熱。しかし、動物も心と情熱を持っているなら、人間だけが理性（理性）を授けられます。人のこれらの3つの側面のいずれかが優勢になる可能性があり、その後、人は主に合理的、正気、または官能的になります。したがって、彼は哲学者、普通の人、または動物のいずれかであることが判明しました。
ただし、数字に戻ります。確かに、数字は宇宙の基本的な哲学的法則、つまり反対者の団結の抽象的な現れです。
ノート。抽象化は、一般化と概念の形成のプロセスの基礎として機能します。彼女は分類に必要な条件です。それは現実の一般化されたイメージを形成し、それは特定の活動にとって重要なオブジェクトの接続と関係を特定することを可能にします。
宇宙の反対者の団結は形式と内容で構成され、形式は量的カテゴリーであり、内容は質的カテゴリーです。当然のことながら、数字は抽象化された量的および質的カテゴリーを表します。したがって、数値の加算（減算）はフォームの抽象化の量的要素であり、乗算（除算）はコンテンツの抽象化の質的要素です。フォームとコンテンツの抽象化の数は、反対者の団結と密接に関連しています。
数を超えてフォームとコンテンツの間に密接な関係を確立して、数学演算を実行してみましょう。

それでは、数列を見てみましょう。
1,2,3,4,5,6,7,8,9。 1 + 2 = 3（3）4 + 5 = 9（9）...（6）7 + 8 = 15 -1 + 5 = 6（9）。さらに10-（1 + 0）+ 11（1 + 1）=（1 + 2 = 3）-12-（1 + 2 = 3）（3）13-（1 + 3 = 4）+ 14-（1 + 4 = 5）=（4 + 5 = 9）（9）…15-（1 + 5 = 6）（6）…16-（1 + 6 = 7）+ 17-（1 + 7 = 8）（ 7 + 8 = 15）-（1 + 5 = 6）...（18）-（1 + 8 = 9）（9）。 19-（1 + 9 = 10）（1）-20-（2 + 0 = 2）（1 + 2 = 3）21-（2 + 1 = 3）（3）-22-（2 + 2 = 4 ）23-（2 + 3 = 5）（4 + 5 = 9）（9）24-（2 + 4 = 6）25-（2 + 5 = 7）26-（2 + 6 = 8）-7+ 8 = 15（1 + 5 = 6）（6）など
ここから、フォームの循環変換を観察します。これは、コンテンツのサイクル–1番目–サイクル– 3-9-6-6-9-3; 2番目のサイクル-3-9-6-6-9-3に対応します。、 NS。
6
9 9
3

サイクルは、宇宙のトーラスの反転を表します。ここで、フォームとコンテンツの抽象化番号の反対は3と6であり、3は圧縮を定義し、6-ストレッチを定義します。彼らの相互作用の妥協点は9番です。
さらに1,2,3,4,5,6,7,8,9。 1x2 = 2（3）4x5 = 20（2 + 0 = 2）（6）7x8 = 56（5 + 6 = 11 1 + 1 = 2）（9）など
サイクルは次のようになります2-（3）-2-（6）-2-（9）...ここで、2はサイクル3-6-9の構成要素です。
次は掛け算の九九です。
2x1 = 2
2x2 = 4
(2+4=6)
2x3 = 6
2x4 = 8
2x5 = 10
(8+1+0 = 9)
2x6 = 12
(1+2=3)
2x7 = 14
2x8 = 16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9 = 18
(1+8=9)
サイクル-6.6-9-3.3-9。
3x1 = 3
3x2 = 6
3x3 = 9
3x4 = 12（1 + 2 = 3）
3x5 = 15（1 + 5 = 6）
3x6 = 18（1 + 8 = 9）
3x7 = 21（2 + 1 = 3）
3x8 = 24（2 + 4 = 6）
3x9 = 27（2 + 7 = 9）
サイクル3-6-9; 3-6-9; 3-6-9。
4x1 = 4
4x2 = 8（4 + 8 = 12 1 + 2 = 3）
4x3 = 12（1 + 2 = 3）
4x4 = 16
4x5 = 20（1 + 6 + 2 + 0 = 9）
4x6 = 24（2 + 4 = 6）
4x7 = 28
4x8 = 32（2 + 8 + 3 + 2 = 15 1 + 5 = 6）
4x9 = 36（3 + 6 = 9）
サイクル3.3-9-6.6-9。
5x1 = 5
5x2 = 10（5 + 1 + 0 = 6）
5x3 = 15（1 + 5 = 6）
5x4 = 20
5x5 = 25（2 + 0 + 2 + 5 = 9）
5x6 = 30（3 + 0 = 3）
5x7 = 35
5x8 = 40（3 + 5 + 4 + 0 = 12 1 + 2 = 3）
5x9 = 45（4 + 5 = 9）
サイクル-6.6-9-3.3-9。
6x1 = 6
6x2 = 12（1 + 2 = 3）
6x3 = 18（1 + 8 = 9）
6x4 = 24（2 + 4 = 6）
6x5 = 30（3 + 0 = 3）
6x6 = 36（3 + 6 = 9）
6x7 = 42（4 + 2 = 6）
6x8 = 48（4 + 8 = 12 1 + 2 = 3）
6x9 = 54（5 + 4 = 9）
サイクル-3-9-6; 3-9-6; 3-9。
7x1 = 7
7x2 = 14（7 + 1 + 4 = 12 1 + 2 = 3）
7x3 = 21（2 + 1 = 3）
7x4 = 28
7x5 = 35（2 + 8 + 3 + 5 = 18 1 + 8 = 9）
7x6 = 42（4 + 2 = 6）
7x7 = 49
7x8 = 56（4 + 9 + 5 + 6 = 24 2 + 4 = 6）
7x9 = 63（6 + 3 = 9）
サイクル-3.3-9-6.6-9。
8x1 = 8
8x2 = 16（8 + 1 + 6 = 15 1 + 5 = 6。
8x3 = 24（2 + 4 = 6）
8x4 = 32
8x5 = 40（3 + 2 + 4 + 0 = 9）
8x6 = 48（4 + 8 = 12 1 + 2 = 3）
8x7 = 56
8x8 = 64（5 + 6 + 6 + 4 = 21 2 + 1 = 3）
8x9 = 72（7 + 2 = 9）
サイクル-6.6-9-3.3-9。
9x1 = 9
9x2 = 18（1 + 8 = 9）
9x3 = 27（2 + 7 = 9）
9x4 = 36（3 + 6 = 9）
9x5 = 45（4 + 5 = 9）
9x6 = 54（5 + 4 = 9）
9x7 = 63（6 + 3 = 9）
9x8 = 72（7 + 2 = 9）
9x9 = 81（8 + 1 = 9）。
サイクルは9-9-9-9-9-9-9-9-9です。

コンテンツの定性的なカテゴリ（3-6-9）の番号は、中性子の数が異なる原子の核を示し、定量的なカテゴリは、原子の電子の数を示します。化学元素は原子核であり、その質量は9の倍数であり、3と6の倍数は同位体です。
ノート。同位体（ギリシャ語の「等しい」、「同じ」、「場所」から）-核内の中性子の数が異なる1つの化学元素のさまざまな原子と核。化学元素は、同じ核電荷を持つ原子の集まりです。同位体は、同じ核電荷を持つが質量数が異なる化学元素のさまざまな原子です。

すべての実物は原子で構成されており、原子は数字で定義されています。
したがって、ピタゴラスが数字は実数であり、単純な記号ではないと確信したのは当然のことです。数は物質的な物体の特定の状態であり、物の本質です。そして、このピタゴラスでは正しかった。

»科学の有名な普及者であるウォーリック大学の数学の著名な教授であるイアン・スチュアートは、人類の歴史における数の役割と、私たちの時代における彼らの研究の関連性に専念しました。

ピタゴラス斜辺

ピタゴラスの三角形は直角と整数の辺を持っています。それらの中で最も単純なものは、長さ5の最も長い辺を持ち、残りは3と4です。合計で5つの正多面体があります。 5次方程式は、5次根または他の根を使用して解くことはできません。平面上および3次元空間内の格子は、5ローブの回転対称性を持たないため、このような対称性は結晶にも存在しません。ただし、それらは4次元空間の格子や準結晶として知られる興味深い構造に見られます。

最小のピタゴラストリプレットの斜辺

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の最も長い辺（悪名高い斜辺）は、この三角形の他の2つの辺に非常に単純かつ美しく関連しています。つまり、斜辺の2乗は、他の2つの辺の2乗の合計に等しくなります。

伝統的に、私たちはこの定理をピタゴラスの名前で呼んでいますが、実際、その歴史はかなり曖昧です。粘土板は、古代バビロニア人がピタゴラス自身よりずっと前にピタゴラスの定理を知っていたことを示唆しています。発見者の栄光は、宇宙が数値の法則に基づいていると支持者が信じていたピタゴラス教徒の数学的カルトによって彼にもたらされました。古代の著者は、ピタゴラス、したがってピタゴラスにさまざまな数学的定理を帰しましたが、実際、ピタゴラス自身がどのような数学を行っていたのかはわかりません。ピタゴラス教徒がピタゴラスの定理を証明できるのか、それとも単にそれが真実であると信じているのかさえわかりません。または、おそらく、彼らはその真実の説得力のある証拠を持っていましたが、それにもかかわらず、今日の証拠であると私たちが考えるものには十分ではありません。

ピタゴラスの証明

ユークリッド原論でピタゴラス定理の最初の既知の証明を見つけます。これは、ビクトリア朝の学童がすぐに「ピタゴラスのズボン」を認識する図面を使用した、かなり複雑な証明です。絵は本当にロープで乾くパンツに似ています。文字通り何百もの他の証拠が知られており、それらのほとんどは主張がより明白になっていることを示しています。

// 米。 33.ピタゴラスパンツ

最も単純な証明の1つは、一種の数学パズルです。直角三角形を取り、4つのコピーを作成し、正方形の中に集めます。 1つのスタッキングで、斜辺に正方形が表示されます。一方、三角形の他の2つの辺の正方形。同時に、両方の場合の面積が等しいことは明らかです。

// 米。 34.左：hypotenuseの正方形（および4つの三角形）。右：他の2つの辺の正方形の合計（および同じ4つの三角形）。次に、三角形を除外します。

ペリガルの解剖は別の証拠パズルです。

// 米。 35.ペリガルの解剖

平面内の正方形のパッキングを使用した定理の証明もあります。おそらくこれは、ピタゴラス教徒または彼らの未知の前任者がこの定理を発見した方法です。斜めの正方形が他の2つの正方形とどのように重なっているかを見ると、大きな正方形を細かく切り、2つの小さな正方形を折りたたむ方法がわかります。また、直角三角形を見ることができます。その辺は、関係する3つの正方形の寸法を示しています。

// 米。 36.舗装証明

三角法で同様の三角形を使用した興味深い証拠があります。少なくとも50の異なる証拠が知られています。

ピタゴラストリプレット

数論では、ピタゴラスの定理が実り多いアイデアの源になりました。代数方程式の整数解を見つけることです。ピタゴラストリプルは、次のような整数a、b、cのセットです。

幾何学的に、そのようなトリプレットは整数の辺を持つ直角三角形を定義します。

ピタゴラストリプレットの最小斜辺は5です。

この三角形の他の2つの辺は3と4です。ここでは

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

次に大きい斜辺は10です。

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

ただし、これは基本的に同じ三角形で、辺が2倍になっています。次に大きく、真に異なる斜辺は13です。

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ユークリッドは、ピタゴラストリプレットのさまざまな変種が無数にあることを知っており、それらすべてを見つけるための公式と呼ぶことができるものを与えました。その後、アレクサンドリアのディオファントゥスは、基本的にユークリッドのレシピと一致する簡単なレシピを提案しました。

任意の2つの自然数を取り、計算します。

彼らの倍増した仕事;

それらの正方形の違い。

それらの二乗の合計。

結果として得られる3つの数値は、ピタゴラス三角形の辺になります。

たとえば、2と1の数字を考えてみましょう。計算：

二重積：2×2×1 = 4;

二乗の差：22-12 = 3;

二乗和：22 + 12 = 5

有名な三角形3-4-5を手に入れました。代わりに3と2の数字を取ると、次のようになります。

二重製品：2×3×2 = 12;

二乗の差：32-22 = 5;

二乗和：32 + 22 = 13

そして、次に最も有名な三角形5-12-13を取得します。42と23の数字を取得して、次のように取得してみましょう。

二重製品：2×42×23 = 1932;

二乗の差：422-232 = 1235;

二乗和：422 + 232 = 2293、

1235-1932-2293の三角形については誰も聞いたことがありません。

しかし、これらの数値も機能します。

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

ディオファントス方程式にはもう1つの特徴がありますが、これはすでに示唆されています。3つの数を受け取ったら、別の任意の数を取り、それらすべてにそれを掛けることができます。したがって、3–4–5の三角形は、すべての辺に2を掛けると6–8–10の三角形になり、すべてに5を掛けると15–20–25の三角形になります。

代数の言語に切り替えると、ルールは次の形式になります。u、v、kを自然数とします。次に、辺のある直角三角形

2kuvおよびk（u2-v2）には斜辺があります

主なアイデアを提示する方法は他にもありますが、それらはすべて上記の方法に要約されます。この方法では、すべてのピタゴラストリプレットを取得できます。

正多面体

正多面体はちょうど5つあります。正多面体（または多面体）は、有限数の平面を持つ3次元の図形です。面はエッジと呼ばれる線に収束します。エッジは頂点と呼ばれる点で交わります。

ユークリッドの「始まり」の集大成は、正多面体が5つしかないこと、つまり、各面が正多角形（等しい辺、等しい角度）であり、すべての面が同一であり、すべての頂点がで囲まれていることの証明です。同数の等間隔の面。これが5つの正多面体です：

4つの三角形の面、4つの頂点、6つのエッジを持つ四面体。

6つの正方形の面、8つの頂点、12のエッジを持つ立方体または六面体。

8つの三角形の面、6つの頂点、12のエッジを持つ八面体。

12の五角形の面、20の頂点、30のエッジを持つ12面体。

20の三角形の面、12の頂点、30のエッジを持つ二十面体。

// 米。 37.5つの正多面体

正多面体も自然界に見られます。 1904年、エルンストヘッケルは、放散虫として知られる小さな生物の絵を発表しました。それらの多くは、形が非常に5つの正多面体に似ています。しかし、おそらく彼は自然をわずかに修正し、図面は特定の生物の形を完全に反映していません。最初の3つの構造は結晶でも観察されます。不規則な十二面体と二十面体が時々出くわしますが、結晶には十二面体と二十面体はありません。真の十二面体は、原子が周期的な格子を形成しないことを除いて、すべての点で結晶に類似している準結晶の形で発生する可能性があります。

// 米。 38.ヘッケルの絵：正多面体の形の放散虫

// 米。 39.正多面体の開発

相互接続された面のセットを事前に切り取って、紙から正多面体のモデルを作成することは興味深い場合があります。これは多面体展開と呼ばれます。リーマーはエッジに沿って折りたたまれ、対応するエッジが接着されます。図1に示すように、このような各ペアのエッジの1つに接着パッドを追加すると便利です。 39.そのような領域がない場合は、粘着テープを使用できます。

5次の方程式

5次の方程式を解くための代数式はありません。

一般的に、5次方程式は次のようになります。

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0。

問題は、そのような方程式の解の公式を見つけることです（最大5つの解を持つことができます）。二次方程式と三次方程式、および4次方程式を扱った経験から、このような式は5次方程式に存在する必要があり、理論的には、5次、3次、および2次の根が存在する必要があることがわかります。そこに現れます。繰り返しになりますが、そのような式が存在する場合、それは非常に非常に困難であると安全に想定できます。

この仮定は結局間違っていることが判明しました。実際、そのような公式は存在しません。少なくとも、加算、減算、乗算と除算、および根の抽出を使用して構築された係数a、b、c、d、e、およびfの式はありません。ですから、5という数字には非常に特別なものがあります。 5人のこの異常な行動の理由は非常に深く、それらを理解するのに長い時間がかかりました。

問題の最初の兆候は、数学者がそのような公式を見つけようとしても、どれほど賢くても、必ず失敗するということでした。しばらくの間、誰もがその理由は式の信じられないほどの複雑さにあると信じていました。誰もこの代数を正しく理解できないと信じられていました。しかし、時が経つにつれて、一部の数学者はそのような公式がまったく存在しないことを疑うようになり、1823年にニールスヘンドリックアベルはその反対を証明することができました。そのような公式はありません。その後すぐに、エヴァリストガロアは、この種の式を使用して、1次または別の方程式（5、6、7、一般的には任意）が解けるかどうかを判断する方法を見つけました。

これらすべてからの持ち帰りは簡単です。5番は特別です。 1、2、3、および4度の代数方程式を（nのさまざまな値にn乗根を使用して）解くことができますが、5度では解けません。ここで明らかなパターンが終わります。

5を超える累乗の方程式がさらに悪い動作をするのは当然のことです。特に、同じ難しさがそれらに関連しています：それらの解決策のための一般的な公式はありません。これは、方程式に解がないことを意味するものではありません。また、これらのソリューションの非常に正確な数値を見つけることが不可能であることを意味するものではありません。それはすべて、従来の代数ツールの制限に関するものです。これは、定規とコンパスで角を三等分することが不可能であることを彷彿とさせます。答えは存在しますが、リストされている方法では不十分であり、それが何であるかを判断することはできません。

結晶学的制限

2次元および3次元の結晶には、5ビームの回転対称性がありません。

結晶内の原子は格子を形成します。つまり、いくつかの独立した方向に周期的に繰り返される構造です。たとえば、壁紙のパターンはロールの長さに沿って繰り返されます。さらに、通常は水平方向に繰り返され、壁紙の一部から次の部分に移動することもあります。基本的に、壁紙は2次元の結晶です。

フラット壁紙には17種類あります（第17章を参照）。それらは対称性のタイプが異なります。つまり、図面が元の位置に正確に配置されるように、図面を厳密にシフトする方法が異なります。対称性のタイプには、特に、回転対称性のさまざまなオプションが含まれます。この場合、画像は特定の点（対称性の中心）を中心に特定の角度で回転する必要があります。

回転対称の順序は、図面内のすべての詳細が元の位置に戻るように、ボディを完全な円に回転できる回数です。たとえば、90°の回転は4次の回転対称性です*。結晶格子で可能な回転対称のタイプのリストは、5という数の異常性を示しています。それはありません。 2、3、4、および6次の回転対称のオプションがありますが、5次の回転対称の壁紙はありません。結晶内で6を超えるオーダーの回転対称性も存在しませんが、それでもシーケンスの最初の違反は5番で発生します。

同じことが3次元空間の結晶系でも起こります。ここで、グリッドは3つの独立した方向に繰り返されます。図面の鏡像を別のバージョンと見なすと、219種類、つまり230種類の対称性があります。この場合、鏡像対称性はありません。この場合も、2、3、4、および6次の回転対称性が観察されますが、5は観察されません。この事実は結晶学的制約と呼ばれます。

4次元空間には、5次対称の格子が存在します。一般に、十分に高い次元の格子の場合、任意の所定の回転対称性の順序が可能です。

// 米。 40.食塩の結晶格子。暗いボールはナトリウム原子を表し、明るいボールは塩素原子を表します

準結晶

2Dおよび3D格子での5次の回転対称性は不可能ですが、準結晶として知られるわずかに規則性の低い構造で存在する可能性があります。ケプラーのスケッチを使用して、ロジャーペンローズは、より一般的なタイプの5回対称の平面システムを発見しました。それらは準結晶と呼ばれます。

準結晶は自然界に存在します。 1984年、ダニエルシェヒトマンは、アルミニウムとマンガンの合金が準結晶を形成できることを発見しました。当初、結晶学者は彼のメッセージに懐疑的な態度で挨拶しましたが、後に発見が確認され、2011年にシェクトマンはノーベル化学賞を受賞しました。 2009年、Luka Bindiが率いる科学者のチームが、ロシアのKoryak Highlandsの鉱物に、アルミニウム、銅、鉄の組み合わせである準結晶を発見しました。今日、この鉱物はイコサヘドライトと呼ばれています。質量分析計で鉱物中のさまざまな酸素同位体の含有量を測定した結果、科学者たちはこの鉱物が地球に由来するものではないことを示しました。それは約45億年前、太陽系がまだ始まったばかりの時期に形成され、小惑星帯で太陽の周りを回って過ごし、何らかの乱れがその軌道を変えて最終的に地球に運ばれるまで続きました。