ピタゴラスのズボンはすべての方向で同じです。トピックに関するプロジェクト：ピタゴラスのズボンはすべての方向で等しい

»科学の有名な普及者であるウォーリック大学の数学の著名な教授であるイアン・スチュアートは、人類の歴史における数の役割と、私たちの時代における彼らの研究の関連性に専念しました。

ピタゴラス斜辺

ピタゴラスの三角形は直角と整数の辺を持っています。それらの中で最も単純なものは、長さ5の最も長い辺を持ち、残りは3と4です。合計で5つの正多面体があります。 5次方程式は、5次根または他の根を使用して解くことはできません。平面上および3次元空間内の格子は、5ローブの回転対称性を持たないため、このような対称性は結晶にも存在しません。ただし、それらは4次元空間の格子や準結晶として知られる興味深い構造に見られます。

最小のピタゴラストリプレットの斜辺

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の最も長い辺（悪名高い斜辺）は、この三角形の他の2つの辺に非常に単純かつ美しく関連しています。つまり、斜辺の2乗は、他の2つの辺の2乗の合計に等しくなります。

伝統的に、私たちはこの定理をピタゴラスの名前で呼んでいますが、実際、その歴史はかなり曖昧です。粘土板は、古代バビロニア人がピタゴラス自身よりずっと前にピタゴラスの定理を知っていたことを示唆しています。発見者の栄光は、宇宙が数値の法則に基づいていると支持者が信じていたピタゴラス教徒の数学的カルトによって彼にもたらされました。古代の著者は、ピタゴラス、したがってピタゴラスにさまざまな数学的定理を帰しましたが、実際、ピタゴラス自身がどのような数学を行っていたのかはわかりません。ピタゴラス教徒がピタゴラスの定理を証明できるのか、それとも単にそれが真実であると信じているのかさえわかりません。または、おそらく、彼らはその真実の説得力のある証拠を持っていましたが、それにもかかわらず、今日の証拠であると私たちが考えるものには十分ではありません。

ピタゴラスの証明

ユークリッド原論でピタゴラス定理の最初の既知の証明を見つけます。これは、ビクトリア朝の学童がすぐに「ピタゴラスのズボン」を認識する図面を使用した、かなり複雑な証明です。絵は本当にロープで乾くパンツに似ています。文字通り何百もの他の証拠が知られており、それらのほとんどは主張がより明白になっていることを示しています。

// 米。 33.ピタゴラスパンツ

最も単純な証明の1つは、一種の数学パズルです。直角三角形を取り、4つのコピーを作成し、正方形の中に集めます。 1つのスタッキングで、斜辺に正方形が表示されます。一方、三角形の他の2つの辺の正方形。同時に、両方の場合の面積が等しいことは明らかです。

// 米。 34.左：hypotenuseの正方形（および4つの三角形）。右：他の2つの辺の正方形の合計（および同じ4つの三角形）。次に、三角形を除外します。

ペリガルの解剖は別の証拠パズルです。

// 米。 35.ペリガルの解剖

平面内の正方形のパッキングを使用した定理の証明もあります。おそらくこれは、ピタゴラス教徒または彼らの未知の前任者がこの定理を発見した方法です。斜めの正方形が他の2つの正方形とどのように重なっているかを見ると、大きな正方形を細かく切り、2つの小さな正方形を折りたたむ方法がわかります。また、直角三角形を見ることができます。その辺は、関係する3つの正方形の寸法を示しています。

// 米。 36.舗装証明

三角法で同様の三角形を使用した興味深い証拠があります。少なくとも50の異なる証拠が知られています。

ピタゴラストリプレット

数論では、ピタゴラスの定理が実り多いアイデアの源になりました。代数方程式の整数解を見つけることです。ピタゴラストリプルは、次のような整数a、b、cのセットです。

幾何学的に、そのようなトリプレットは整数の辺を持つ直角三角形を定義します。

ピタゴラストリプレットの最小斜辺は5です。

この三角形の他の2つの辺は3と4です。ここでは

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

次に大きい斜辺は10です。

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

ただし、これは基本的に同じ三角形で、辺が2倍になっています。次に大きく、真に異なる斜辺は13です。

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ユークリッドは、ピタゴラストリプレットのさまざまな変種が無数にあることを知っており、それらすべてを見つけるための公式と呼ぶことができるものを与えました。その後、アレクサンドリアのディオファントゥスは、基本的にユークリッドのレシピと一致する簡単なレシピを提案しました。

任意の2つの自然数を取り、計算します。

彼らの倍増した仕事;

それらの正方形の違い。

それらの二乗の合計。

結果として得られる3つの数値は、ピタゴラス三角形の辺になります。

たとえば、2と1の数字を考えてみましょう。計算：

二重積：2×2×1 = 4;

二乗の差：22-12 = 3;

二乗和：22 + 12 = 5

有名な三角形3-4-5を手に入れました。代わりに3と2の数字を取ると、次のようになります。

二重製品：2×3×2 = 12;

二乗の差：32-22 = 5;

二乗和：32 + 22 = 13

そして、次に最も有名な三角形5-12-13を取得します。42と23の数字を取得して、次のように取得してみましょう。

二重製品：2×42×23 = 1932;

二乗の差：422-232 = 1235;

二乗和：422 + 232 = 2293、

1235-1932-2293の三角形については誰も聞いたことがありません。

しかし、これらの数値も機能します。

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

ディオファントス方程式にはもう1つの特徴がありますが、これはすでに示唆されています。3つの数を受け取ったら、別の任意の数を取り、それらすべてにそれを掛けることができます。したがって、3–4–5の三角形は、すべての辺に2を掛けると6–8–10の三角形に、すべてに5を掛けると15–20–25の三角形に変換できます。

代数の言語に切り替えると、ルールは次の形式になります。u、v、kを自然数とします。次に、辺のある直角三角形

2kuvおよびk（u2-v2）には斜辺があります

主なアイデアを提示する方法は他にもありますが、それらはすべて上記の方法に要約されます。この方法では、すべてのピタゴラストリプレットを取得できます。

正多面体

正多面体はちょうど5つあります。正多面体（または多面体）は、有限数の平面を持つ3次元の図形です。面はエッジと呼ばれる線に収束します。エッジは頂点と呼ばれる点で交わります。

ユークリッドの「始まり」の集大成は、5つの正多面体、つまり、各面が正多角形（等しい辺、等しい角度）であり、すべての面が同一であり、すべての頂点が等間隔の面の同数。これが5つの正多面体です：

4つの三角形の面、4つの頂点、6つのエッジを持つ四面体。

6つの正方形の面、8つの頂点、12のエッジを持つ立方体または六面体。

8つの三角形の面、6つの頂点、12のエッジを持つ八面体。

12の五角形の面、20の頂点、30のエッジを持つ12面体。

20の三角形の面、12の頂点、30のエッジを持つ二十面体。

// 米。 37.5つの正多面体

正多面体も自然界に見られます。 1904年、エルンストヘッケルは、放散虫として知られる小さな生物の絵を発表しました。それらの多くは、形が非常に5つの正多面体に似ています。しかし、おそらく彼は自然をわずかに修正し、図面は特定の生物の形を完全に反映していません。最初の3つの構造は結晶でも観察されます。不規則な十二面体と二十面体が時々出くわしますが、結晶には十二面体と二十面体はありません。真の十二面体は、原子が周期的な格子を形成しないことを除いて、すべての点で結晶に類似している準結晶の形で発生する可能性があります。

// 米。 38.ヘッケルの絵：正多面体の形の放散虫

// 米。 39.正多面体の開発

相互接続された面のセットを事前に切り取って、紙から正多面体のモデルを作成することは興味深い場合があります。これは多面体展開と呼ばれます。リーマーはエッジに沿って折りたたまれ、対応するエッジが接着されます。図1に示すように、このような各ペアのエッジの1つに接着パッドを追加すると便利です。 39.そのような領域がない場合は、粘着テープを使用できます。

5次の方程式

5次方程式を解くための代数式はありません。

一般的に、5次方程式は次のようになります。

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0。

問題は、そのような方程式の解の公式を見つけることです（最大5つの解を持つことができます）。二次方程式と三次方程式、および4次方程式を扱った経験から、このような式は5次方程式に存在する必要があり、理論的には、5次、3次、および2次の根が存在する必要があることがわかります。そこに現れます。繰り返しになりますが、そのような式が存在する場合、それは非常に非常に困難であると安全に想定できます。

この仮定は結局間違っていることが判明しました。実際、そのような公式は存在しません。少なくとも、加算、減算、乗算と除算、および根の抽出を使用して構築された係数a、b、c、d、e、およびfの式はありません。ですから、5という数字には非常に特別なものがあります。 5人のこの異常な行動の理由は非常に深く、それらを理解するのに長い時間がかかりました。

問題の最初の兆候は、数学者がそのような公式を見つけようとしても、どれほど賢くても、必ず失敗するということでした。しばらくの間、誰もがその理由は式の信じられないほどの複雑さにあると信じていました。誰もこの代数を正しく理解できないと信じられていました。しかし、時が経つにつれて、一部の数学者はそのような公式がまったく存在しないことを疑うようになり、1823年にニールスヘンドリックアベルはその反対を証明することができました。そのような公式はありません。その後まもなく、エヴァリスト・ガロアは、この種の公式を使用して、1次または別の方程式（5、6、7、一般的には任意）が解けるかどうかを判断する方法を見つけました。

これらすべてからの持ち帰りは簡単です。5番は特別です。次数1、2、3、および4の代数方程式を（nのさまざまな値にn乗根を使用して）解くことができますが、5度では解けません。ここで明らかなパターンが終わります。

5を超える累乗の方程式がさらに悪い動作をするのは当然のことです。特に、同じ難しさがそれらに関連しています：それらの解決策のための一般的な公式はありません。これは、方程式に解がないことを意味するものではありません。また、これらのソリューションの非常に正確な数値を見つけることが不可能であることを意味するものではありません。それはすべて、従来の代数ツールの制限に関するものです。これは、定規とコンパスで角を三等分することが不可能であることを彷彿とさせます。答えは存在しますが、リストされている方法では不十分であり、それが何であるかを判断することはできません。

結晶学的制限

2次元および3次元の結晶には、5ビームの回転対称性がありません。

結晶内の原子は格子を形成します。つまり、いくつかの独立した方向に周期的に繰り返される構造です。たとえば、壁紙のパターンはロールの長さに沿って繰り返されます。さらに、通常は水平方向に繰り返され、壁紙の一部から次の部分に移動することもあります。基本的に、壁紙は2次元の結晶です。

フラット壁紙には17種類あります（第17章を参照）。それらは対称性のタイプが異なります。つまり、図面が元の位置に正確に配置されるように、図面を厳密にシフトする方法が異なります。対称性のタイプには、特に、回転対称性のさまざまなオプションが含まれます。この場合、画像は特定の点（対称性の中心）を中心に特定の角度で回転する必要があります。

回転対称の順序は、図面内のすべての詳細が元の位置に戻るように、ボディを完全な円に回転できる回数です。たとえば、90°の回転は4次の回転対称性です*。結晶格子で可能な回転対称のタイプのリストは、5という数の異常性を示しています。それはありません。 2、3、4、および6次の回転対称のオプションがありますが、5次の回転対称の壁紙はありません。結晶内で6を超えるオーダーの回転対称性も存在しませんが、それでもシーケンスの最初の違反は5番で発生します。

同じことが、3次元空間の結晶系でも起こります。ここで、グリッドは3つの独立した方向に繰り返されます。図面の鏡像を別のバージョンと見なすと、219種類の対称性、つまり230種類の対称性があります。この場合、鏡像対称性はありません。この場合も、2、3、4、および6次の回転対称性が観察されますが、5は観察されません。この事実は結晶学的制約と呼ばれます。

4次元空間には、5次対称の格子が存在します。一般に、十分に高い次元の格子の場合、任意の所定の回転対称性の順序が可能です。

// 米。 40.食塩の結晶格子。暗いボールはナトリウム原子を表し、明るいボールは塩素原子を表します

準結晶

2Dおよび3D格子での5次の回転対称性は不可能ですが、準結晶として知られるわずかに規則性の低い構造で存在する可能性があります。ケプラーのスケッチを使用して、ロジャーペンローズは、より一般的なタイプの5回対称の平面システムを発見しました。それらは準結晶と呼ばれます。

準結晶は自然界に存在します。 1984年、ダニエルシェヒトマンは、アルミニウムとマンガンの合金が準結晶を形成できることを発見しました。当初、結晶学者は彼のメッセージに懐疑的な態度で挨拶しましたが、後に発見が確認され、2011年にシェクトマンはノーベル化学賞を受賞しました。 2009年、Luka Bindiが率いる科学者のチームが、ロシアのKoryak Highlandsの鉱物に、アルミニウム、銅、鉄の組み合わせである準結晶を発見しました。今日、この鉱物はイコサヘドライトと呼ばれています。質量分析計で鉱物中のさまざまな酸素同位体の含有量を測定した結果、科学者たちはこの鉱物が地球に由来するものではないことを示しました。それは約45億年前、太陽系がまだ始まったばかりの時期に形成され、小惑星帯でほとんどの時間を太陽の周りを回って過ごし、何らかの乱れがその軌道を変えて最終的に地球に運びました。

// 米。 41.左：5回対称の準結晶格子の1つ。右：二十面体のアルミニウム-パラジウム-マンガン準結晶の原子モデル

創造性の可能性は通常、人文科学に起因し、自然科学には分析、実践的なアプローチ、数式と数値の乾いた言葉が残されています。数学は人道的主題に帰することはできません。しかし、「すべての科学の女王」の創造性がなければ、遠くまで行くことはできません。人々はこれについて長い間知っていました。たとえば、ピタゴラスの時代から。

残念ながら、学校の教科書は通常、数学では定理、公理、公式を詰め込むだけでなく重要であると説明していません。その基本原則を理解し、感じることが重要です。そして同時に、決まり文句や基本的な真実からあなたの心を解放しようとします-そのような状況でのみ、すべての素晴らしい発見が生まれます。

これらの発見には、今日私たちがピタゴラスの定理として知っているものが含まれています。その助けを借りて、私たちは数学ができるだけでなく、刺激的であるべきであることを示すように努めます。そして、この冒険は厚い眼鏡のオタクだけでなく、心と精神が強いすべての人に適しています。

問題の歴史から

厳密に言えば、この定理は「ピタゴラス定理」と呼ばれていますが、ピタゴラス自身はそれを発見していませんでした。直角三角形とその特殊な特性は、それよりずっと前に研究されていました。この問題には2つの反対の見方があります。あるバージョンによると、ピタゴラスは定理の完全な証拠を最初に見つけました。別の人によると、その証拠はピタゴラスの作者のものではありません。

今日、誰が正しいのか、誰が間違っているのかを確認することはできません。ピタゴラスの証拠が存在したとしても、それが生き残っていないことだけが知られています。しかし、ユークリッドの「要素」からの有名な証拠はピタゴラスに属するかもしれないという提案があり、ユークリッドはそれを記録しただけです。

直角三角形に関する問題は、ファラオ・アメネムケット1世の時代のエジプトの資料、ハンムラビ王の治世中のバビロニアの粘土板、古代インドの論文「Sulvasutra」および古代中国人に見られることも今日知られています。作曲「周美スアンジン」。

ご覧のとおり、ピタゴラスの定理は古代から数学者の心を占領してきました。今日も約367の異なる証拠が存在します。これでは、他の定理はそれと競合することはできません。著名なプルーフライターには、レオナルドダヴィンチと米国の第20代大統領ジェームズガーフィールドが含まれます。これはすべて、数学にとってこの定理の非常に重要なことを物語っています。幾何学の定理のほとんどは、それから、または何らかの方法でそれに関連して導き出されています。

ピタゴラス定理の証明

学校の教科書では、主に代数的な証明が与えられています。しかし、定理の本質は幾何学にあるので、まず、この科学に基づいた有名な定理の証明について考えてみましょう。

証明1

直角三角形のピタゴラス定理を最も簡単に証明するには、理想的な条件を設定する必要があります。三角形を直角三角形だけでなく、二等辺三角形にすることです。この三角形はもともと古代の数学者によって考えられていたと信じる理由があります。

声明 「直角三角形の斜辺上に構築された正方形は、その脚上に構築された正方形の合計に等しい」次の図で説明できます。

二等辺直角三角形ABCを見てください。斜辺ACでは、元のABCに等しい4つの三角形で構成される正方形を作成できます。また、脚ABとBCには正方形が組み込まれており、それぞれに2つの類似した三角形が含まれています。

ちなみに、この絵は、ピタゴラスの定理に捧げられた数多くの逸話や漫画の基礎を形成しました。おそらく最も有名なのは 「ピタゴラスのズボンはすべての方向で等しい」:

証明2

この方法は、代数と幾何学を組み合わせたものであり、数学者バスカリの古代インドの証明の変形と見なすことができます。

辺のある直角三角形を作成します a、b、c（図1）。次に、2つの脚の長さの合計に等しい辺を持つ2つの正方形を作成します- （a + b）..。各正方形で、図2および3のように構成します。

最初の正方形で、図1と同じ三角形を4つ作成します。その結果、2つの正方形が得られます。1つは辺がaで、もう1つは辺があります。 NS.

2番目の正方形では、4つの構築された同様の三角形が、斜辺に等しい辺を持つ正方形を形成します。 NS.

図2で作成された正方形の面積の合計は、図3で辺cを使用して作成した正方形の面積に等しくなります。これは、図の正方形の面積を計算することで簡単に確認できます。 2式による。そして、図3の内接正方形の面積は、直角三角形に内接する4つの等しい面積を、一辺のある大きな正方形の面積から差し引くことによって （a + b）.

これをすべて書き留めると、次のようになります。 a 2 + b 2 =（a + b）2-2ab..。角かっこを展開し、必要な代数計算をすべて実行して、それを取得します a 2 + b 2 = a 2 + b 2..。この場合、図3に内接する領域。正方形は、従来の式を使用して計算できます S = c 2..。それらの。 a 2 + b 2 = c 2-あなたはピタゴラスの定理を証明しました。

証明3

まったく同じ古代インドの証拠は、12世紀に「知識の王冠」（「シッダンタ・シロマーニ」）という論文で説明されており、主な議論として、著者は数学の才能と学生と信者の観察に向けられた魅力を使用しています。見て！"

しかし、この証明をより詳細に分析します。

正方形の内側に、図に示されているように4つの直角三角形を描きます。大きな正方形の側面、それは斜辺でもあります、私たちは示しますと..。三角形の脚は呼ばれます NSと NS..。図面によると、内側の正方形の側面は （a-b）.

正方形の数式の面積を使用する S = c 2外側の正方形の面積を計算します。同時に、内側の正方形の面積と4つの直角三角形すべての面積を追加して同じ値を計算します： （a-b）2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.

正方形の面積を計算するために両方のオプションを使用して、同じ結果が得られることを確認できます。そしてそれはあなたにそれを書き留める権利を与えます c 2 =（a-b）2 + 4 * 1 \ 2 * a * b..。解の結果として、ピタゴラス定理の公式を受け取ります。 c 2 = a 2 + b 2..。定理が証明されます。

証明4

この好奇心旺盛な古代中国の証拠は「花嫁の椅子」と呼ばれています-すべての構造の結果として得られる椅子のような姿のために：

これは、2番目の証明で図3ですでに見た図面を使用しています。そして、辺cの内側の正方形は、上記の古代インドの証明と同じ方法で作成されます。

図1の図から2つの緑色の直角三角形を精神的に切り取り、それらを辺cと斜辺のある正方形の反対側に移動し、ライラック三角形の斜辺に取り付けると、「花嫁の椅子」と呼ばれる図が得られます。 "（図2）。わかりやすくするために、紙の正方形や三角形でも同じことができます。「花嫁の椅子」は2つの正方形で形成されていることがわかります。 NS側面が大きくて大きい NS.

これらの構造により、古代中国の数学者は、その後、次のような結論に達することができました。 c 2 = a 2 + b 2.

証明5

これは、幾何学に依存して、ピタゴラス定理の解を見つける別の方法です。それはガーフィールド法と呼ばれています。

直角三角形を作成します ABC..。それを証明する必要があります BC 2 = AC 2 + AB 2.

これを行うには、脚を続けます なので線分を描きます CDこれは脚に等しい AB..。垂線を下げる広告セクション ED..。セグメント EDと なのでは同じ。点を結びます Eと V、と Eとと下の写真のように図面を取得します。

塔を証明するために、私たちはすでに試した方法に頼ります：2つの方法で結果の図の領域を見つけて、式を互いに等しくします。

ポリゴンの領域を見つける ベッドそれを形成する3つの三角形の領域を追加することで可能です。そしてそのうちの1つ、 ERUは、長方形であるだけでなく、二等辺三角形でもあります。それも忘れないでください AB = CD, AC = EDと BC = CE-これにより、記録を簡素化し、過負荷にしないようにすることができます。そう、 S ABED = 2 * 1/2（AB * AC）+ 1 / 2BC 2.

さらに、それは明らかです ベッド台形です。したがって、次の式で面積を計算します。 S ABED =（DE + AB）* 1 / 2AD..。私たちの計算では、セグメントを表す方が便利で明確です広告セグメントの合計として なのでと CD.

図形の面積を計算する両方の方法を書いて、それらの間に等号を入れましょう： AB * AC + 1 / 2BC 2 =（DE + AB）* 1/2（AC + CD）..。表記の右側を単純化するために、すでにわかっていて上記で説明したセグメントの等価性を使用します。 AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2（AB + AC）2..。次に、角かっこを展開して、等式を変換しましょう。 AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2（AB * AC）+ 1 / 2AB 2..。すべての変換が完了すると、必要なものが正確に得られます。 BC 2 = AC 2 + AB 2..。私たちはその定理を証明しました。

もちろん、この証拠のリストは完全ではありません。ピタゴラスの定理は、ベクトル、複素数、微分方程式、立体測定などを使用して証明することもできます。そして物理学でさえ：たとえば、液体が図面に示されているものと同様の正方形および三角形のボリュームに注がれる場合。液体を注ぐことにより、結果として面積と定理自体の同等性を証明することができます。

ピタゴラストリプレットについての一言

この問題は、学校のカリキュラムではほとんどまたはまったく研究されていません。それでも、それは非常に興味深く、幾何学において非常に重要です。ピタゴラストリプレットは、多くの数学的問題を解くために使用されます。それらのアイデアは、あなたのさらなる教育に役立つ可能性があります。

では、ピタゴラストリプレットとは何ですか？これは、3つに集められた自然数の名前であり、2の2乗の合計は、3番目の2乗に等しくなります。

ピタゴラストリプレットは次のようになります。

プリミティブ（3つの数はすべて互いに素です）;
プリミティブではありません（トリプルの各数値に同じ数値を掛けると、プリミティブではない新しいトリプルが得られます）。

私たちの時代の前でさえ、古代エジプト人は多くのピタゴラストリプレットのマニアに魅了されていました。問題では、彼らは辺が3、4、5単位の直角三角形を考えていました。ちなみに、辺がピタゴラストリプレットの数と等しい三角形は、デフォルトでは長方形です。

ピタゴラストリプレットの例：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）、（9、12、15）、（8、15、17）、（12、16、 20））、（15、20、25）、（7、24、25）、（10、24、26）、（20、21、29）、（18、24、30）、（10、30、34 ）、（21、28、35）、（12、35、37）、（15、36、39）、（24、32、40）、（9、40、41）、（27、36、45）、（14、48、50）、（30、40、50）など。

定理の実用化

ピタゴラスの定理は、数学だけでなく、建築や建設、天文学、さらには文学にも応用されています。

まず、構築について：ピタゴラスの定理は、さまざまなレベルの複雑さの問題に幅広く適用されます。たとえば、ロマネスク様式のウィンドウを見てみましょう。

ウィンドウ幅を次のように表します。 NSの場合、半円の半径は次のように表すことができます。 NSと表現する b：R = b / 2..。小さい半円の半径は、次のように表すこともできます。 b：r = b / 4..。この問題では、ウィンドウの内側の円の半径に関心があります（これを呼びましょう） NS).

ピタゴラスの定理は計算に役立ちます NS..。これを行うには、図の点線で示されている直角三角形を使用します。三角形のhypotenuseは、2つの半径で構成されます。 b / 4 + p..。片足は半径です b / 4、別 b / 2-p..。ピタゴラスの定理を使用して、次のように記述します。 （b / 4 + p）2 =（b / 4）2 +（b / 2-p）2..。次に、角かっこを開いて取得します b 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2 / 4-bp + p 2..。この式をに変換します bp / 2 = b 2 / 4-bp..。そして、すべての用語をで除算します NS、私たちは取得するために同様のものを与えます 3/2 * p = b / 4..。そして最後に私たちはそれを見つけるでしょう p = b / 6-これが私たちに必要なものです。

定理を使用して、切妻屋根の垂木の長さを計算できます。信号が特定の集落に到達するために必要なモバイルタワーの高さを決定します。そして、町の広場に恒久的にクリスマスツリーを設置することさえできます。ご覧のとおり、この定理は教科書のページだけでなく、実際の生活でも役立つことがよくあります。

文学に関しては、ピタゴラスの定理は古代から作家に影響を与えてきており、私たちの時代にもそうし続けています。たとえば、19世紀のドイツの作家アデルベルトフォンシャミッソは、ソネットを書くように促されました。

真実の光はすぐに消えることはありません、
しかし、輝いて、それはほとんど消えません
そして、数千年前のように、
疑いや論争を引き起こしません。

それが目に触れたときに最も賢い
神々のおかげで、真実の光。
そして、100頭の雄牛が刺されて嘘をついた-
幸運なピタゴラスからの相互の贈り物。

それ以来、雄牛は必死に咆哮しています：
雄牛の部族に永遠に警戒
ここで言及されているイベント。

彼らにはそう思われます：時が来ようとしています
そして再び彼らは犠牲になります
いくつかの素晴らしい定理。

（Viktor Toporovによる翻訳）

そして20世紀、ソビエトの作家イェフゲニーベルティストフは、彼の著書「電子工学の冒険」でピタゴラスの定理の証明に全章を捧げました。そして、ピタゴラスの定理が基本法となり、単一の世界の宗教にさえなった場合に存在する可能性のある、2次元世界の物語の半章。そこに住むほうがはるかに簡単ですが、退屈なこともあります。たとえば、「丸い」や「ふわふわ」という言葉の意味を理解している人は誰もいません。

そして、本「電子工学の冒険」の中で、著者は数学の教師タラタールの口を通して、「数学の主なものは思考の動き、新しいアイデアです」と述べています。ピタゴラスの定理を生み出すのは、この創造的な思考の流れです。これほど多くの異なる証拠があるのは当然のことです。慣れ親しんだものの境界を越えて、慣れ親しんだものを新しい方法で見るのに役立ちます。

結論

この記事は、数学の学校のカリキュラムを超えて、教科書「Geometry 7-9」（L。S。Atanasyan、V。N。Rudenko）および「Geometry7」に記載されているピタゴラス定理の証明だけでなく、それを見つけることができるように作成されました。 -11 "（AV Pogorelov）だけでなく、有名な定理を証明する他の奇妙な方法。また、ピタゴラスの定理を日常生活にどのように適用できるかの例もご覧ください。

まず、この情報により、数学の授業でより高いスコアを取得できるようになります。追加の情報源からの主題に関する情報は常に高く評価されています。

第二に、私たちはあなたが数学がどれほど面白いかを感じ取るのを手伝いたかったのです。具体的な例を挙げて、創造性を発揮する場所が常にあることを確認してください。ピタゴラスの定理とこの記事が、数学やその他の科学におけるあなたの独立した探求と刺激的な発見を刺激することを願っています。

この記事の証拠がおもしろいと思ったら、コメントで教えてください。この情報はあなたの研究に役立ちましたか？ピタゴラスの定理とこの記事についてあなたがどう思うかを私たちに書いてください-私たちはあなたとこれらすべてについて話し合うことを嬉しく思います。

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ピタゴラスの定理は、学生時代から誰にでも知られています。著名な数学者は、多くの人々が今日使用しているという素晴らしい仮説を証明しました。ルールは次のように聞こえます。直角三角形の斜辺の長さの2乗は、脚の2乗の合計に等しくなります。何十年もの間、数学者はこの規則を議論することができませんでした。結局のところ、ピタゴラスは長い間彼の目標を達成し、その結果、日常生活の中で絵が描かれるようになりました。

証明の直後に発明されたこの定理の小さな節は、「ピタゴラスのズボンはすべての方向で等しい」という仮説の特性を直接証明しています。この2行は多くの人々の記憶に残っています-今日まで、詩は計算で記憶されています。
この定理は、真ん中を描くと直角三角形が得られ、その辺に正方形があることから「ピタゴラスパンツ」と呼ばれていました。外観上、この図はズボンに似ていたため、仮説の名前が付けられました。
ピタゴラスは、この仮説が証拠の最大量において同様の仮説とは異なるため、開発された定理を誇りに思っていました。重要：この方程式は、370の真実の証拠により、ギネスブックに登録されました。
この仮説は、さまざまな国の膨大な数の数学者や教授によってさまざまな方法で証明されました。..。イギリスの数学者ジョーンズはすぐに、仮説が微分方程式を使ってそれを証明したと発表しました。
現在、ピタゴラス自身による定理の証明を誰も知りません。..。今日の数学者の証明についての事実は誰にも知られていません。ユークリッドによる素描の証明はピタゴラスの証明であると信じられています。しかし、一部の学者はこの声明に異議を唱えています。多くの学者は、仮説の作成者の助けなしに、ユークリッドが独立して定理を証明したと信じています。
今日の科学者たちは、偉大な数学者がこの仮説を最初に発見したのではないことを発見しました。..。この方程式は、ピタゴラスが発見されるずっと前から知られていました。この数学者は、仮説を再結合することしかできませんでした。
ピタゴラスは方程式を「ピタゴラスの定理」と名付けませんでした..。この名前は「大音量の2行」の後に付けられました。数学者は、全世界に彼の努力と発見を知り、使用することだけを望んでいました。
モリッツ・カントール-古代のパピルスの記録で発見され、識別された偉大な優れた数学者..。その後まもなく、カントールはこの定理が紀元前2300年には早くもエジプト人に知られていたことに気づきました。その時だけ、誰もそれを使用せず、それを証明しようとしませんでした。
現在の科学者は、この仮説は紀元前8世紀にはすでに知られていると信じています。..。当時のインドの科学者たちは、直角に恵まれた三角形のハイポテヌスのおおよその計算を発見しました。確かに、当時、近似計算で方程式を確実に証明することはできませんでした。
偉大な数学者バルテル・ファン・デル・ヴェルデンは、仮説を証明した後、重要な結論を導き出しました：「ギリシャの数学者のメリットは、方向と幾何学の発見とは見なされず、その正当化のみと見なされます。ピタゴラスの手には、仮定、不正確な計算、漠然とした考えに基づいた計算式がありました。しかし、優れた科学者はそれを正確な科学に変えることができました」。
有名な詩人は、彼の絵のオープニングの日に、彼は雄牛に栄光の犠牲を建てたと言いました..。 100頭の雄牛の犠牲が「本や出版物のページをさまよった」という噂が広まったのは、仮説が発見された後のことでした。今日まで、すべての雄牛は新しい発見を恐れていると冗談を言っています。
ピタゴラスが彼が提案した絵を証明するためにズボンについての詩を思い付かなかったことの証明： 偉大な数学者の生涯の間、ズボンはまだありませんでした..。それらは数十年後に発明されました。
ペッカ、ライプニッツ、その他数人の科学者は、以前から知られている定理を証明しようとしましたが、誰も成功しませんでした。
図面の名前「ピタゴラスの定理」は「スピーチによる説得」を意味します..。これは、数学者が仮名として取ったピタゴラスという単語の翻訳方法です。
彼自身のルールについてのピタゴラスの反射：地球上の存在の秘密は数にあります..。結局のところ、数学者は自分の仮説に基づいて、数の性質を研究し、偶数と奇数を明らかにし、比率を作成しました。

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ザーグ。 shk。シャトル。斜辺に構築された正方形の面積と直角三角形の脚との関係を確立するピタゴラスの定理。防弾少年団、835..。ロシアのことわざの大規模な辞書

ピタゴラスパンツ-ピタゴラス定理の漫画名。長方形の側面に構築され、さまざまな方向に発散する正方形がズボンのカットに似ているという事実から生まれました。私は幾何学が好きでした...そしてそれをからも得ました...... ロシア語の文語辞書

ピタゴラスパンツ-斜辺に構築された正方形の領域と、外見上は図のズボンのカットのように見える直角三角形の脚との関係を確立する、ピタゴラスの定理のユーモラスな名前... 多くの表現の辞書

Inosk 。：才能のある人についてCf. これは疑いの余地のない賢人です。古代には、彼はおそらくピタゴラスのズボンを発明したでしょう...サルトゥコフ。カラフルな文字。ピタゴラスのズボン（geom。）：長方形では、斜辺の正方形は脚の正方形と同じです（教え... .. .. マイケルソンの大きな説明句辞典

ピタゴラスのズボンはすべての面で等しい-ボタンの数はわかっています。なぜディックは窮屈ですか？（大まかに）ズボンと男性器について。ピタゴラスのズボンはすべての面で同じです。これを証明するには、1）ピタゴラスの定理について削除して表示する必要があります。 2）ワイドパンツについて..。ライブスピーチ。口語表現の辞書

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ピタゴラスのズボンはすべての方向で等しい-ピタゴラスの定理のユーモラスな証拠。バディのだぶだぶのズボンについても冗談を言っています... フォークフレーズの辞書

例、失礼..。

すべてのサイドのPYTHAGORのパンツは同じです（ボタンの数はわかっています。なぜファックがタイトなのですか？/それを証明するには、取り外して表示する必要があります）-調整、失礼..。現代の口語表現単位とことわざの説明辞書

名詞、Pl。、Uptr。 cf. しばしば形態学：pl。何？ズボン、（いいえ）何？ズボン、なぜ？ズボン、（参照）何？ズボン何？何についてのズボン？ズボンについて1.ズボンは、短い脚または長い脚が2つあり、下部を覆う衣類です... .. .. Dmitrievの説明辞書

本

ピタゴラスパンツ、。この本では、ファンタジーと冒険、奇跡とフィクションを見つけるでしょう。面白くて悲しい、普通で神秘的な...面白い読書には他に何が必要ですか？主なものは持っていることです...
車輪の上の奇跡、MarkushaAnatoly。何百万もの車輪が地球全体で回転します-それらは車を転がし、時計で時間を測定し、電車の下でノックし、工作機械やさまざまなメカニズムで無数の作業を実行します。彼ら…

いくつかの議論は私を非常に面白がらせます...

こんにちはあなたは何をしている？
-はい、私は雑誌から問題を解決します。
-わお！あなたに期待していなかった。
-何を期待していなかったのですか？
-あなたが問題に身をかがめること。結局のところ、それは賢いように思えますが、あなたはあらゆる種類のナンセンスを信じています。
-申し訳ありませんが、わかりません。ナンセンスとは何ですか？
-はい、あなたのすべての数学。結局のところ、ゴミが完全であることは明らかです。
-どうしてそれを言うことができますか？数学は科学の女王です...
-この哀れみなしでやって来てくださいね？数学はまったく科学ではありませんが、愚かな法律と規則の1つの連続した山です。
-何？！
-ああ、まあ、そんなに大きな目をしないでください、あなたは私が正しいことをあなた自身が知っています。いいえ、私は主張しません、九九は素晴らしいものです、それは人類の文化と歴史の形成に重要な役割を果たしました。しかし、今ではこれはすべて無関係です！そして、なぜ物事を複雑にするのですか？自然界には積分や対数はありません。これらはすべて数学者の発明です。
-ちょっと待って。数学者は何も発明しませんでした、彼らは証明されたツールを使用して、数の相互作用の新しい法則を発見しました...
-はい、もちろん！そして、あなたはそれを信じますか？彼らが絶えず話しているナンセンスをあなた自身が見ることができませんか？例を挙げていただけますか？
-はい、親切にしてください。
-はい、お願いします！ピタゴラスの定理。
-彼女の何が問題になっていますか？
-はい、そうではありません！「ピタゴラスのズボンはすべての面で同じです」とあなたは見ます。ピタゴラスの時代、ギリシャ人はズボンをはいていないことをご存知ですか？ピタゴラスはどうして彼が知らなかったことについて推論することができたのでしょうか？
-ちょっと待って。ズボンはそれと何の関係がありますか？
-まあ、彼らはピタゴロフのようですか？か否か？ピタゴラスにはズボンがなかったことを認めますか？
-ええと、もちろん、そうではありませんでした...
-ええ、それは定理のタイトルそのものに明らかな矛盾があることを意味します！その後、どのようにそれが言うことを真剣に受け止めることができますか？
- ちょっと待って。ピタゴラスはズボンについて何も言わなかった...
-認めますよね？
-はい...では、続行できますか？ピタゴラスはズボンについて何も言わなかったし、他人のナンセンスを彼に帰する必要はない...
-ええ、あなた自身はこれがすべてナンセンスであることに同意します！
-言わなかった！
-言ったばかりです。あなたは自分自身と矛盾しています。
-そう。やめる。ピタゴラスの定理は何と言っていますか？
-すべてのズボンが等しいこと。
-くそー、あなたはこの定理を読んだことがありますか？！
-知っている。
-どこ？
-私は読む。
-何を読みましたか？
-ロバチェフスキー。
*一時停止*
-申し訳ありませんが、ロバチェフスキーはピタゴラスと何の関係がありますか？
-まあ、ロバチェフスキーも数学者であり、彼はピタゴラスよりもさらにクールな権威のようです、ノーと言いますか？
*はぁ*
-さて、ロバチェフスキーはピタゴラスの定理について何と言いましたか？
-ズボンが等しいこと。しかし、これはナンセンスです！どうやってそのようなズボンを履くことができますか？その上、ピタゴラスはズボンをまったく着ていませんでした！
-ロバチェフスキーはそう言った？！
*自信を持って2回目の一時停止*
-はい！
-書かれている場所を見せてください。
-いいえ、まあ、そこに直接書かれているわけではありません...
-この本の名前は？
-はい、これは本ではなく、新聞の記事です。ロバチェフスキーが実際にドイツの諜報機関の代理人であったという事実について...まあ、これは重要なことではありません。とにかく、彼はおそらくそう言ったでしょう。彼は数学者でもあるので、彼とピタゴラスは同時にいます。
-ピタゴラスはズボンについて何も言わなかった。
-はい、そうです！それとスピーチについて。それはすべてでたらめです。
-順番に来ましょう。ピタゴラスの定理が何を言っているかを個人的にどのように知っていますか？
-ああ、さあ！誰もがそれを知っています。誰かに聞いてください、彼らはすぐにあなたに答えます。
-ピタゴラスのズボンはズボンではありません...
-そしてもちろん！これは寓話です！私がこれを何回聞いたことがあるか知っていますか？
-ピタゴラスの定理は、脚の二乗の合計が斜辺の二乗に等しいと言っています。そしてすべて！
-ズボンはどこにありますか？
-はい、ピタゴラスにはズボンがありませんでした!!!
-ええと、そうですね、私はそれについて話しているのです。あなたの数学はすべてでたらめです。
-そしてそれはでたらめではありません！自分で見てください。これが三角形です。これが斜辺です。ここに足があります...
-そして、なぜ突然これが脚であり、これが斜辺であるのですか？多分その逆？
-番号。脚は直角を形成する2つの側面です。
-さて、ここにあなたのためのもう一つの直角があります。
-彼はまっすぐではありません。
-曲がった彼は何ですか？
-いいえ、辛いです。
-だからこれもシャープです。
-シャープではなく、ストレートです。
-ご存知のように、私をだましてはいけません！結果を希望の結果に調整するために、好きな名前を付けるだけです。
-直角三角形の2つの短辺は脚です。長辺は斜辺です。
-そして誰が短いですか-その足？そして、斜辺はもはや転がっていませんか？あなた自身、外からあなた自身に耳を傾けてください、あなたが話しているナンセンスは何ですか。それは21世紀であり、民主主義の繁栄であり、あなたにはある種の中世があります。彼の側は、あなたが見るように、不平等です...
-辺が等しい直角三角形は存在しません...
-本気ですか？あなたのために描きましょう。ここを見てください。長方形？長方形。そして、すべての側面が等しいです！
-あなたは正方形を描きました。
-だから何？
-正方形は三角形ではありません。
-そしてもちろん！合わなくなったらすぐに「三角形じゃない」！ばかにしないでよ。自分で数えてください：1つのコーナー、2つのコーナー、3つのコーナー。
-四。
-だから何？
-それは正方形です。
-そして、三角形ではなく正方形ですか？彼はもっと悪いですよね？描いたからといって？ 3つのコーナーはありますか？あり、ここにもスペアが1つあります。さて、ここには何もありません、あなたは知っています...
-さて、このトピックはそのままにしておきましょう。
-ええ、もうあきらめていますか？議論することは何もありませんか？あなたは数学がでたらめだと認めますか？
-いいえ、しません。
-まあ、もう一度、素晴らしい！私はあなたにすべてを詳細に証明しました！すべてのジオメトリがピタゴラスの教えに基づいている場合、申し訳ありませんが、それは完全にナンセンスです...それでは、さらに何について話すことができますか？
-ピタゴラスの教えはナンセンスではありません...
-まあ、なんと！そして、私はピタゴラスの学校について聞いたことがありません！あなたが知りたいのなら、彼らは乱交にふけっています！
-それはそれと何の関係がありますか...
-そして、ピタゴラスは一般的にファゴットでした！彼自身、プラトンは彼の友達だと言っていました。
-ピタゴラス？！
-知らなかった？はい、それらはすべてファゴットでした。そして頭に3つ。 1つは樽の中で眠っていて、もう1つは裸で街を走り回っていました...
-ディオゲネスは樽の中で眠りましたが、彼は哲学者であり、数学者ではありませんでした...
-そしてもちろん！誰かが樽に登った場合、彼らはもはや数学者ではありません！なぜ私たちは余分な恥が必要なのですか？私たちは知っている、私たちは知っている、合格した。しかし、3000年前に住んでいてズボンなしで走ったあらゆる種類のファゴットがなぜ私にとって権威であるべきなのかを私に説明しますか？いったいなぜ私は彼らの見解を受け入れるべきなのでしょうか？
-さて、去ります...
-いいえ、聞いてください！結局、私もあなたの話を聞きました。これらはあなたの計算、計算です...あなたはすべて数える方法を知っています！そして、本質的に、すぐそこに何かを尋ねてください。「これは商であり、これは変数であり、これらは2つの未知数です。」そして、あなたは詳細なしで、o-o-o-generalで私に言います！そして、未知の、未知の、実存的なものがなければ...それは私を病気にします、あなたは知っていますか？
-理解。
-ええと、なぜ2回2回が常に4回なのか説明してください。誰がこれを発明したのですか？そして、なぜ私はそれを当然のことと見なす義務があり、疑う権利がないのですか？
-はい、好きなだけ疑ってください...
-いいえ、あなたは私に説明します！あなたのこれらのものがないだけですが、それは人間的には正常なので、それは明らかです。
-2の2倍は4に等しいので、2の2倍は4に等しい。
-オイルオイル。何を新しく教えてくれましたか？
-2 x2は2x2です。 2つと2つを取り、それらを追加します...
-では、加算または乗算しますか？
-これは同じです...
-両方オン！それで、7と8を足して掛けると、それも同じことですか？
-番号。
-なぜ？
-7プラス8は等しくないので...
-そして、9を2で掛けると、4になりますか？
-番号。
-なぜ？私は2を掛けました-それはうまくいきました、しかし9で突然不機嫌になりましたか？
-はい。 2回9-18。
-そして2回7？
-14。
-そして2回5？
-十。
-つまり、4つは1つの特定のケースでのみ判明しますか？
-丁度。
-今、自分で考えてください。掛け算には厳しい法則やルールがあるとおっしゃっています。それぞれの特定のケースで異なる結果が得られた場合、ここでどのような法律について話すことができますか？！
-それは完全に真実ではありません。結果が同じになる場合があります。たとえば、6の2倍は12に相当します。そして4回3回-あまりにも...
-悪い！ 2、6、3、4-何もありません！結果が初期データにまったく依存していないことがわかります。同じ決定が2つの根本的に異なる状況で行われます！そして、これは、私たちが絶えず取り、何も変わらない同じ2つが、すべての数値で常に異なる答えを与えるという事実にもかかわらずです。論理はどこにあるのだろうか。
-しかし、これもまた論理的です！
-あなたのために-多分。あなたの数学者はいつもあらゆる種類のとんでもないがらくたを信じています。そして、あなたのこれらの計算は私を納得させません。そして、あなたはその理由を知っていますか？
-どうして？
-私が 知っているなぜあなたの数学が本当に必要なのですか。それはすべて何に要約されますか？「カティアはポケットにリンゴを1つ持っていて、ミシャは5つ持っています。ミシャがカティアにリンゴを等しくするために、リンゴをいくつ与える必要がありますか？」そして、あなたは私があなたに言うことを知っていますか？ミーシャ 誰にも負っていない与える！ Katyaにはリンゴが1つあります-それで十分です。彼女にとってそれは十分ではありませんか？彼を仕事に行かせて、少なくともリンゴ、少なくとも梨、少なくともシャンパンのパイナップルのために正直に自分自身を稼ぎましょう。そして、誰かが仕事をしたくないが、問題を解決するためだけにしたいのなら、彼にリンゴを1つ持って座って、見せびらかさないようにしましょう！