平行な底面を持つ円錐台。円錐（幾何学図形）

1 点から発せられるすべての光線の結合によって得られます ( ピーク円錐）を通過し、平面を通過します。場合によっては、円錐は、平面の頂点と点を接続するすべてのセグメントの結合によって得られる、そのような体の一部と呼ばれます (この場合、後者はと呼ばれます)。基礎円錐、そしてその円錐は呼ばれます ベースのこれに基づいて）。特に明記しない限り、以下ではこのケースを検討します。円錐の底面が多角形の場合、円錐はピラミッドになります。

"== 関連する定義 ==

頂点と底辺の境界を結ぶ線分をといいます。 円錐の母線.
円錐のジェネレーターの結合は次のように呼ばれます。母線（また側) 円錐面。円錐の母線は円錐面です。
頂点からベースの平面に垂直に落ちた線分 (およびそのような線分の長さ) は、と呼ばれます。 円錐の高さ.
円錐の底面に対称の中心があり (たとえば、円や楕円)、底面の平面上への円錐の頂点の正射影がこの中心と一致する場合、その円錐は次のように呼ばれます。直接。頂点と底辺の中心を結んだ線をといいます。 円錐軸.
斜め (傾いた) 円錐 - 頂点の底面への正射影が対称中心と一致しない円錐。
円錐底面が円である円錐。
まっすぐな円錐(単に円錐と呼ばれることが多い) は、脚を含む線 (この線は円錐の軸を表します) を中心に直角三角形を回転させることによって取得できます。
楕円、放物線、または双曲線に基づく円錐はそれぞれ呼ばれます 楕円形の, 放物線状と 双曲円錐(最後の 2 つは無限のボリュームです)。
底面と底面に平行な面の間、および頂点と底面の間にある円錐の部分をといいます。 円錐台.

プロパティ

底面の面積が有限である場合、円錐の体積も有限であり、高さと底面の面積の積の 3 分の 1 に等しくなります。したがって、特定の底面上に置かれ、その底面に平行な特定の平面上に頂点が位置するすべての円錐は、高さが等しいため、同じ体積を持ちます。
有限の体積を持つ円錐の重心は、底面からの高さの 4 分の 1 の位置にあります。
直円錐の頂点の立体角は次のようになります。

どこ - 開き角度円錐（つまり、円錐の軸と側面の直線との間の角度の 2 倍）です。

このような円錐の側表面積は次のようになります。

ここで、は底辺の半径、は母線の長さです。

円錐の体積は、

平面と直円錐の交点は、円錐断面の 1 つです (非縮退の場合、割線平面の位置に応じて、楕円、放物線、または双曲線)。

一般化

代数幾何学では円錐は、フィールド上のベクトル空間の任意のサブセットです。

こちらも参照

コーン (トポロジー)

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書で「直接円錐」が何であるかを見てください。

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右円錐円錐は、1 点 (円錐の頂点) から発せられ、平面を通過するすべての光線の結合によって得られる物体です。時々、円錐はそのような体の一部と呼ばれ、接続されているすべてのセグメントを組み合わせることによって得られます... ウィキペディア

円錐- まっすぐな円錐。 CONE (ラテン語の conus 、ギリシャ語の konos 円錐に由来)、丸い円錐面と円錐面の上部を通らない平面によって境界付けられる幾何学的な本体。頂点が上にある場合は…… 図解百科事典

- (ラテン語 conus、ギリシャ語 konos)。直線の反転から形成される表面で囲まれた物体。その一端は固定されており (円錐の頂点)、もう一端は指定された曲線の円周に沿って移動します。シュガーローフのように見えます。辞書外来語,… … ロシア語外来語辞典

円錐- (1) 初等幾何学において、ガイド (円錐基部) に沿った固定点 (円錐頂点) を通る直線 (円錐母線) の移動によって形成される表面によって境界付けられる幾何学的本体。 ...の間に囲まれた形成された表面偉大なポリテクニック百科事典

- 脚の 1 つに近い直角三角形の回転によって形成される (直円形) 幾何学的な本体。斜辺は母線と呼ばれます。固定脚の高さ。回転する脚の付け根によって描かれる円。側面K…… ブロックハウスとエフロンの百科事典

- (直円形 K.) 脚の 1 つを中心とした直角三角形の回転によって形成される幾何学的本体。斜辺は母線と呼ばれます。固定脚の高さ。回転する脚の付け根によって描かれる円。側面…

- 脚の 1 つを中心とした直角三角形の回転によって形成される (直円形) 幾何学的本体。斜辺は母線と呼ばれます。固定脚の高さ。回転する脚の付け根によって描かれる円。側面K… 百科事典 F. ブロックハウスと I.A. エフロン

- (lat. conus、ギリシャ語 konos から) (数学)、1) K.、または円錐面、特定の線 (ガイド) のすべての点と特定の点 (頂点) を接続する空間の線 (ジェネレーター) の幾何学的軌跡）の空間…… ソビエト大百科事典

底面に平行な面で小さな円錐を円錐から切り取ると、円錐台が得られます (図 8.10)。円錐台には 2 つの底面があります。「下部」 - 元の円錐の底面 - と「上部」 - 切り取られた円錐の底面です。円錐の断面に関する定理によると、円錐台の底面は類似しています。。

円錐台の高さは、ある底面の点から別の底面の面に下ろした垂線です。このような垂線はすべて等しい (セクション 3.5 を参照)。高さは長さ、つまり底面間の距離とも呼ばれます。

回転円錐台は回転円錐から得られます (図 8.11)。したがって、その底面とそれに平行なすべてのセクションは、1つの直線上、つまり軸上に中心を持つ円になります。回転円錐台は、長方形台形を底面に垂直な側面を中心に回転させるか、回転させることによって得られます。

対称軸の周りの等脚台形 (図 8.12)。

回転円錐台の側面

これは、それに属する回転円錐の側面の一部であり、そこから得られます。回転円錐台の表面 (またはその全表面) は、その底面と側面で構成されます。

8.5。回転円錐と回転円錐台の画像。

このようにまっすぐな円錐が描かれます。まず、底面の円周を表す楕円を描きます(図8.13)。次に、基点の中心である点 O を見つけ、円錐の高さを表す線分 RO を垂直に描きます。点 P から、楕円に接線 (基準) 直線が引かれ (実際には、これは定規を適用して目で行われます)、これらの線の線分 RA と PB が点 P から選択され、点 A と B に接触します。線分 AB はベースコーンの直径ではなく、三角形 ARV はコーンの軸方向の断面ではありません。円錐の軸方向の断面は三角形 APC です。線分 AC は点 O を通過します。目に見えない線はストロークで描かれます。セグメント OP は描画されないことが多く、基点 O の中心の真上の円錐 P の上部を描くために頭の中で輪郭が描かれるだけです。

回転円錐台を描くには、最初に円錐台の元となる円錐を描くと便利です (図 8.14)。

8.6. 円錐セクション。すでに述べました側面回転円筒の場合、平面は楕円に沿って交差します (セクション 6.4)。また、回転円錐の側面の、底面と交わらない平面による断面は楕円です(図8.15)。したがって、楕円は円錐断面と呼ばれます。

円錐曲線には、他のよく知られた曲線、双曲線や放物線も含まれます。回転円錐の側面を延長して得られる無制限の円錐を考えてみましょう (図 8.16)。頂点を通らない平面 a で交差させてみましょう。 a が円錐のすべての母線と交差する場合、セクションでは、すでに述べたように、楕円が得られます (図 8.15)。

OS 平面を回転させることにより、(OS が平行な) 1 つを除いて、OS 平面が円錐 K のすべての生成要素と確実に交差するようにすることができます。次に、そのセクションでは放物線が得られます (図 8.17)。最後に、OS 平面をさらに回転させて、円錐 K の母線の一部と交差する a が、他の無限の母線と交差せず、そのうちの 2 つと平行になるような位置に移動します (図 8.18)。。次に、平面 a を含む円錐 K の断面で、双曲線と呼ばれる曲線 (より正確には、その「枝」の 1 つ) が得られます。したがって、関数のグラフである双曲線は、円が楕円の特殊な場合と同様に、双曲線の特殊な場合、つまり二等辺双曲線です。

円の平行投影によって楕円が得られるのと同じように、投影によって二等辺から双曲線を得ることができます。

双曲線の両方の枝を取得するには、2 つの「空洞」を持つ円錐のセクションを取得する必要があります。つまり、光線ではなく、回転円錐の側面の母線を含む直線によって形成された円錐です (図.8.19）。

円錐断面は古代ギリシャの幾何学者によって研究され、彼らの理論は古代幾何学の頂点の 1 つでした。古代における円錐断面の最も完全な研究は、ペルガのアポロニウス (紀元前 3 世紀) によって行われました。

楕円、双曲線、放物線を 1 つのクラスに結合する重要なプロパティが多数あります。たとえば、「非縮退」、つまり、次の形式の方程式によってデカルト座標の平面上に定義される、点、直線、または一対の直線、曲線に還元できないものを網羅します。

円錐断面は自然界で重要な役割を果たします。物体は重力場内で楕円、放物線、双曲線の軌道に沿って移動します (ケプラーの法則を思い出してください)。円錐断面の顕著な特性は、科学技術の分野、たとえば一部の光学機器やサーチライトの製造によく使用されます (サーチライトの鏡の表面は、放物線の円弧を放物線の軸を中心に回転させることによって得られます) ）。円錐形のセクションは、丸いランプシェードからの影の境界として観察できます (図 8.20)。

米。 1. 円錐台の形をした生命の物体

新しい形状は幾何学のどこから来ると思いますか? すべては非常に単純です。人は人生で似たようなオブジェクトに遭遇し、それらを何と呼ぶかを思いつきます。サーカスでライオンが座っている台座、ニンジンの一部だけを切ったときに得られる部分を考えてみましょう。活火山たとえば、懐中電灯の光です (図 1 を参照)。

米。 2. 幾何学的形状

これらの図はすべて同じような形状であることがわかります。下から見ても上から見ても、円によって制限されていますが、上に向かって狭くなります (図 2 を参照)。

米。 3. コーンの上部を切り取る

円錐形のように見えます。ただトップが欠けているだけです。円錐を取り出し、そこから切り離すことを頭の中で想像してください。上部鋭い剣を一振りするだけで攻撃できます (図 3 を参照)。

米。 4. 円錐台

それはちょうど私たちの図であることがわかり、それは円錐台と呼ばれています（図4を参照）。

米。 5. 円錐の底面に平行な断面

コーンを与えましょう。平面を描いてみよう平面に平行この円錐の底部と円錐と交差する部分です (図 5 を参照)。

円錐を 2 つの本体に分割します。そのうちの 1 つは小さな円錐で、もう 1 つは円錐台と呼ばれます (図 6 を参照)。

米。 6. 平行断面を持つボディが得られます

したがって、円錐台は、その底面とその底面に平行な平面との間に囲まれた円錐の一部です。円錐の場合と同様に、円錐台の底面に円が存在する場合があります。この場合、円錐台は円形と呼ばれます。元の円錐が真っ直ぐであれば、円錐台は真っ直ぐと呼ばれます。円錐の場合と同様、特に指定がない限り、真っ直ぐな円錐台のみを考慮します。私たちは話しています間接的な円錐台について、またはその底部が円ではありません。

米。 7. 直方体台形の回転

私たちのグローバルテーマ- 革命の体。円錐台も例外ではありません。円錐を取得するために次のことを考慮したことを思い出してください。直角三角形そして脚の周りを回転させましたか？得られた円錐を底面に平行な平面で横切ると、三角形から長方形の台形が残ります。小さな側面を中心に回転すると、円錐台が得られます。もちろん、ここでは直接的なものについてのみ話していることに注意してください。円錐(図7を参照)。

米。 8. 円錐台の底面

いくつかコメントしてみましょう。完全な円錐の底面と円錐を平面で切断した円を円錐台の底面（下部、上部）と呼びます（図8参照）。

米。 9. 円錐台のジェネレーター

円錐台の底面の間に囲まれた完全な円錐のジェネレーターのセグメントは、円錐台のジェネレーターと呼ばれます。元の円錐のすべてのジェネレータが等しく、円錐台のジェネレータもすべて等しいため、円錐台のジェネレータも等しいことになります (円錐台と円錐台を混同しないでください)。したがって、軸方向断面の二等辺台形が続きます (図 9 を参照)。

円錐台の内側に囲まれた回転軸のセグメントは、円錐台の軸と呼ばれます。もちろん、このセグメントはそのベースの中心を接続します (図 10 を参照)。

米。 10. 円錐台の軸

円錐台の高さは、一方の底面の点からもう一方の底面に下ろした垂線です。ほとんどの場合、その軸は円錐台の高さとみなされます。

米。 11. 円錐台の軸断面

円錐台の軸方向断面は、その軸を通る断面です。これは台形のように見えますが、少し後でその二等辺を証明します (図 11 を参照)。

米。 12. 表記法を導入した円錐

円錐台の側面の面積を求めます。円錐台の底面の半径をととし、ジェネレータを等しいとします (図 12 を参照)。

米。 13. 円錐台の母線の表記

円錐台の側面の面積を、元の円錐と円錐台の側面の面積の差として求めてみましょう。これを行うには、円錐台の母線で表します (図 13 を参照)。

次に、希望の。

米。 14. 相似な三角形

表現することが残っています

三角形の類似性から、その由来に注目してください (図 14 を参照)。

半径の差で割って表現することもできますが、積が目的の表現になるのでその必要はありません。の代わりに、最終的に次のようになります。 .

総表面積の公式を得るのは難しくありません。これを行うには、2 つの基本円の面積を加算するだけです。 .

米。 15. 問題のイラスト

長方形の台形をその高さを中心に回転させることによって円錐台が得られるとします。台形の中線は、主線はです。側面- (図15を参照)。得られた円錐台の側面の面積を求めます。

解決

公式からわかることは、 .

円錐の母線は次のようになります。大きなパーティー元の台形、つまり円錐の半径が台形の底辺になります。見つかりません。しかし、それは必要ありません。必要なのはそれらの合計だけであり、台形の底辺の合計は正中線の 2 倍、つまり等しいです。それから。

円錐について話したとき、円錐とピラミッドの間に平行線を引いたことに注意してください。公式は似ていました。ここでも同じです。円錐台は角錐台に非常に似ているため、円錐台と角錐の側面および全表面の面積の公式 (すぐに体積の公式も登場します) は似ています。。

米。 1. 問題の図解

円錐台の底面の半径はとに等しく、母線はに等しい。円錐台の高さと軸方向断面の面積を求めます（図1を参照）。

"== 関連する定義 ==

頂点と底辺の境界を結ぶ線分をといいます。 円錐の母線.
円錐のジェネレーターの結合は次のように呼ばれます。母線（また側) 円錐面。円錐の母線は円錐面です。
頂点からベースの平面に垂直に落ちた線分 (およびそのような線分の長さ) は、と呼ばれます。 円錐の高さ.
円錐の底面に対称の中心があり (たとえば、円や楕円)、底面の平面上への円錐の頂点の正射影がこの中心と一致する場合、その円錐は次のように呼ばれます。直接。頂点と底辺の中心を結んだ線をといいます。 円錐軸.
斜め (傾いた) 円錐 - 頂点の底面への正射影が対称中心と一致しない円錐。
円錐底面が円である円錐。
まっすぐな円錐(単に円錐と呼ばれることが多い) は、脚を含む線 (この線は円錐の軸を表します) を中心に直角三角形を回転させることによって取得できます。
楕円、放物線、または双曲線に基づく円錐はそれぞれ呼ばれます 楕円形の, 放物線状と 双曲円錐(最後の 2 つは無限のボリュームです)。
底面と底面に平行な面の間、および頂点と底面の間にある円錐の部分をといいます。 円錐台.

プロパティ

底面の面積が有限である場合、円錐の体積も有限であり、高さと底面の面積の積の 3 分の 1 に等しくなります。したがって、特定の底面上に置かれ、その底面に平行な特定の平面上に頂点が位置するすべての円錐は、高さが等しいため、同じ体積を持ちます。
有限の体積を持つ円錐の重心は、底面からの高さの 4 分の 1 の位置にあります。
直円錐の頂点の立体角は次のようになります。

どこ - 開き角度円錐（つまり、円錐の軸と側面の直線との間の角度の 2 倍）です。

このような円錐の側表面積は次のようになります。

ここで、は底辺の半径、は母線の長さです。

円錐の体積は、

平面と直円錐の交点は、円錐断面の 1 つです (非縮退の場合、割線平面の位置に応じて、楕円、放物線、または双曲線)。

一般化

代数幾何学では円錐は、フィールド上のベクトル空間の任意のサブセットです。

こちらも参照

コーン (トポロジー)

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書で「円錐（幾何学図形）」が何であるかを見てください。

コーン: 数学コーン内幾何学模様。位相空間上の円錐。円錐（圏論）。技術分野では、コーンは工作機械の工具と主軸を組み合わせる工具方法です。コーンデバイスノード……ウィキペディア

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表示画面（モニター）上の情報のイメージを可視化したもの。紙やその他のメディア上での画像の複製とは異なり、画面上で作成された画像は、ほぼ即座に消去および/または修正、縮小または拡大することができます。百科事典

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米。 1. 円錐台の形をした生命の物体

新しい形状は幾何学のどこから来ると思いますか? すべては非常に単純です。人は人生で似たようなオブジェクトに遭遇し、それらを何と呼ぶかを思いつきます。サーカスでライオンが座る台座、ニンジンの一部だけを切り取ったもの、活火山、そしてたとえば懐中電灯の光を考えてみましょう (図 1 を参照)。

米。 2. 幾何学的形状

米。 3. コーンの上部を切り取る

円錐形のように見えます。ただトップが欠けているだけです。円錐を取り出し、鋭い剣の一振りでその上部を切り落とすことを頭の中で想像してみましょう (図 3 を参照)。

米。 4. 円錐台

それはちょうど私たちの図であることがわかり、それは円錐台と呼ばれています（図4を参照）。

米。 5. 円錐の底面に平行な断面

コーンを与えましょう。この円錐の底面と平行で、円錐と交差する平面を描きましょう (図 5 を参照)。

円錐を 2 つの本体に分割します。そのうちの 1 つは小さな円錐で、もう 1 つは円錐台と呼ばれます (図 6 を参照)。

米。 6. 平行断面を持つボディが得られます

したがって、円錐台は、その底面とその底面に平行な平面との間に囲まれた円錐の一部です。円錐の場合と同様に、円錐台の底面に円が存在する場合があります。この場合、円錐台は円形と呼ばれます。元の円錐が真っ直ぐであれば、円錐台は真っ直ぐと呼ばれます。円錐の場合と同様に、間接的な円錐台について話している、またはその底面に円がないことが特に示されていない限り、直線の円錐台のみを考慮します。

米。 7. 直方体台形の回転

私たちの世界的なテーマは革命の体です。円錐台も例外ではありません。円錐を取得するために、直角三角形を考慮し、それを脚の周りで回転させたことを思い出してください。得られた円錐を底面に平行な平面で横切ると、三角形から長方形の台形が残ります。小さな側面を中心に回転すると、円錐台が得られます。もちろん、ここでは直円錐についてのみ話していることにもう一度注意してください (図 7 を参照)。

米。 8. 円錐台の底面

いくつかコメントしてみましょう。完全な円錐の底面と円錐を平面で切断した円を円錐台の底面（下部、上部）と呼びます（図8参照）。

米。 9. 円錐台のジェネレーター

米。 10. 円錐台の軸

円錐台の高さは、一方の底面の点からもう一方の底面に下ろした垂線です。ほとんどの場合、その軸は円錐台の高さとみなされます。

米。 11. 円錐台の軸断面

円錐台の軸方向断面は、その軸を通る断面です。これは台形のように見えますが、少し後でその二等辺を証明します (図 11 を参照)。

米。 12. 表記法を導入した円錐

円錐台の側面の面積を求めます。円錐台の底面の半径をととし、ジェネレータを等しいとします (図 12 を参照)。

米。 13. 円錐台の母線の表記

円錐台の側面の面積を、元の円錐と円錐台の側面の面積の差として求めてみましょう。これを行うには、円錐台の母線で表します (図 13 を参照)。

次に、希望の。