Конспект занятия "Степенная функция, её свойства и графики". Урок «Степенные функции, их свойства и графики Объяснение темы степенная функция

Конспект урока по математике по теме «Степенная функция, её свойства и график»

Преподаватель математики ГБПОУ МО «СТТ»

Голубева Наталья Борисовна

Дата урока

Формирование языковой, коммуникативной и информационных общих компетенций.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с учителем, товарищами.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи личностного развития, заниматься самообразованием.

Структура урока

1. Организационный этап (1 мин)

Заполнение журнала, отметка присутствующих на уроке, проверка готовности учащихся к уроку.

Ход урока

2. Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний 5 мин

Повторение основных понятий.

1. Область определения. (значения, которые может принимать переменная х.) 2. Область значений (множество значений). (множество значений, которые может принимать переменная у.) 3. Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции. (график четной функции симметричен относительно оси ОУ. график нечетной функции симметричен относительно начала координат, т.е точки О) Аналитическая запись свойства четности, нечетности. ( - нечетная функция - четная функция) 4. Промежутки возрастания и убывания функции.

3. Этап усвоения новых знаний 14 мин

Сегодня на уроке мы повторим и систематизируем наши знания по теме «Степенная функция». Слайд 3. С седьмого класса мы изучили множество функций, графики которых вы видите на слайде.

Что объединяет все эти функции?

Все эти функции являются частными случаями степенной функции.

Дадим определение степенной функции.

у = х р , где р – заданное действительное число.

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р .

Сейчас каждый из вас будет оформлять опорный конспект по теме «Степенная функция». Заполнив этот конспект, вам будет удобно использовать его при подготовке к уроку. В опорном конспекте уже даны эскизы графиков. Ваша задача: сформулировать свойства функций и сделать записи в конспекте.

Слайды 5-17 . Фронтальная работа с классом. Оформление записей в «Опорный конспект» (приложение 1). Перечисляем свойства функций по следующему плану.

Область определения.

Область значений (множество значений).

Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции. Аналитическая запись свойства четности, нечетности.

Записываем промежутки возрастания и убывания функции.

Во время фронтальной работы обращаю внимание на возможные варианты записи ответов в виде промежутков или неравенств. На слайдах 6, 8, 10, 12, 14, 15 демонстрирую, как изменяется вид графика при изменении показателя степени р.

4. Этап закрепления новых знаний 10 мин

Закрепление изученного материала. Решение упражнений из учебника.

Мы вспомнили функции, которые нам знакомы, и увидели новые графики. Проверим, как вы усвоили новый материал. Проведем тест соответствия.

На партах у учащихся лежат набор карточек с формулами функций (приложение 3). Эскизы графиков воспроизводятся с помощью презентации. К доске приглашается по очереди 7 учащихся, которые должны привести в соответствие эскизы графиков и карточки с формулой, комментируя свой выбор. Ученик с помощью магнитов закрепляет таблички с формулами рядом с соответствующим номером графика.

Набор формул для учащихся.

у=х -0,4

Работа с учебником. № 125 (1, 3)
Доп № 126 (1).

5. Самостоятельная работа – тест соответствия «Степенная функция». 10 мин

Самостоятельная работа проводится в виде тестирования на ноутбуках. Работа идет парами. Учащиеся садятся за ноутбук вдвоем, открывают тест, записывают фамилии и проходят тест. Результат теста фиксируется в текстовом документе, после урока копируется и прикладывается к разработке урока.

степенная функция.mtf

Тест "Степенная функция"

Задание #1

Вопрос:

Заключительная часть

6. Этап подведения итогов урока 3 мин

Подведение итогов урока, выставление оценок

7.Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению 2 мин

По опорному конспекту – выучить свойства и графики. № 125(2,4), 128 .

Обобщающий урок по алгебре в 10 классе

Тема урока . Степенная функция.

Цели урока :

1) Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся

по теме «Степенная функция».

2) Закреплять знания о степенной функции и ее свойствах, навыки применения свойств степени и корня, навыки решения иррациональных уравнений.

3) Развивать у учащихся мышление, внимание, аккуратность.

4) Воспитывать у учащихся любовь к математике.

Тип урока : обобщение знаний.

Ход урока.

Сообщение темы и цели урока. Запись даты в тетрадь.

Функция и ее свойства.

Вопрос учителя: Какая функция называется степенной?

(Функция вида , где p -заданное действительное число, называется степенной функцией.)

2) Даны эскизы функций. Какой график соответствует предложенной формуле. (Графики показаны на экране, формулы появляются на экране одна за другой)

Указать область определения и область значения функции.

Вопросы.

а) Какая функция «лишняя»?

б) Назовите четную функцию. Назовите нечетную функцию. Как определяем?

Самостоятельная работа учащихся.

Указать, какой формуле соответствует график функции: написать формулу, а рядом указать номер функции.

В
ариант 1

1)
2)
3)
4)
5)

Вариант 2

1)
2)
3)
4)
5)

Учащиеся сдают свои работы. Проверка ответов с экрана.

3. Степень и ее свойства.

1) Повторение свойств степени. (Свойства по одному появляются на экране, учащиеся формулируют их).

Свойства степени.

Для любых положительных a и b и любых рациональных m и n верны равенства:

2) Упростить выражения. Учитель диктует пример, учащиеся записывают его и решают с комментированием.

3)Проверка решений с экрана.

Проверь решения примеров:

1.

2.

3.

4.

4) Задание учащимся: найти ошибку в решении. (На экране появляются задания по одному, учащиеся объясняют ошибки в решении. В последнем примере ошибки нет).

Найдите ошибку в решении:

Дайте определение арифметического корня n -й степени.

Какие числа называются неотрицательными?

Повторение свойств корней. На экране формулы:

Если a ≥0, b >0 ,m и n -натуральные числа, причем m ≥2, n ≥2 ,то

Вопросы.

Чему равен корень n -й степени из произведения?

Чему равен корень n -й степени из дроби?

Обратите внимание на формулы №6 и №7, они применяются при решении иррациональных уравнений.

Выполнение задания: упростить выражение (на экране примеры). Задание 1 и 2 решают учащиеся на доске с объяснением, задания 3 и 4 устно объясняют и решают самостоятельно с последующей проверкой с экрана.

Упростить выражения:

.

5.Решение иррациональных уравнений .

1) Какое уравнение называется иррациональным? Помним при решении уравнений ключевые слова: « уравнение – проверка!»

6. Задание на дом:

самостоятельная работа по индивидуальным карточкам.

7.Подведение итога урока.

Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»

Цели урока:

Образовательная:

Создать условия для формирования знаний о свойствах и особенностях графиков степенных функций y = x r при различных значениях r .

Развивающие:

Способствовать развитию информационных умений учащихся: умения работать с текстом слайда, умения составлять опорный конспект.

Способствовать развитию творческой и мыслительной деятельности учащихся.

Продолжить формирование умений чётко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

Воспитательные:

Продолжить развитие культуры математической речи.

Способствовать формированию коммуникативной компетентности.

Тип урока: комбинированный

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Средства обучения:

компьютер, медиапроектор;

классная доска;

слайдовая презентация (PowerPoint ), (приложение 1);

учебник «Алгебра и начала анализа» под ред. А.Г.Мордковича;

рабочая тетрадь, чертёжные инструменты;

опорный конспект темы (документ Word ), (приложение 3);

В результате изучения темы учащиеся должны

Знать: понятие степенной функции,

свойства степенной функции в зависимости от показателя.

Уметь: называть свойства степенной функции в зависимости от показателя,

строить графики (эскизы графиков) степенных функций с рациональным

показателем,

выполнять простейшие преобразования графиков,

уметь составлять опорный конспект,

уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

Ход урока: Мы продолжаем работу над формированием умений построения графиков степенных функций. Целый ряд таких функций знакомы нам из курса алгебры 7-9 классов, это функции с натуральным показателем, и степенные функции с отрицательным целым показателем. На прошлом уроке мы записали с вами теорию по степенным функциям с дробными показателями

у = х р, где р – заданное действительное число

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р.

2.

Обобщение свойств степенной функции. Работа с опорным конспектом.

1.Работа на доске: построить графики функций. у=х 4 , у=х 7 , у=х -2 ,у=х -5 , у=х 2/5 , у=х 1,3 , у=х -1/3

7 человек работают у доски, оставшиеся на местах, объединены в группы, для дальнейшей проверки

Перечисляем свойства по плану.

Область определения.

Область значений (множество значений).

Четность, нечетность функции.

Возрастание, убывание.

По окончании работы, проверка учениками, которые оставались на местах (на экран высвечиваются слайды с графиками функций).

2. «математическое лото» На экране высвечиваются готовые графики функций, на доске записаны наборы формул, необходимо установить взаимосвязь.

Взаимопроверка:

Правильные ответы: №1 578 643 192

3 Устная работа

1. Используя графики данных функций, найти промежутки, на которых график функции у=х π лежит выше (ниже) графика функции у = х.

2. Используя графики данных функций, найти промежутки, на которых график функции у=х sin 45 лежит выше (ниже) графика функции у = х.

3. Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции у=х 1- π лежит выше (ниже) графика функции у = х.

Преобразование графиков

Во м6ногих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков функций более простого вида. Давайте вспомним некоторые из них.

Рассмотреть устно преобразования графика степенной функции, а затем построить два графика.

Самостоятельная работа

Задайте самостоятельно степенную функцию, постройте её график, опишите свойства

Цели урока:

Обучающая :

• познакомить учащихся со степенными функциями и их свойствами,
• учить навыку применения свойств функций в решении уравнений графическим способом и в сравнении чисел.

Развивающая :

• развитие индуктивных и дедуктивных навыков мышления.

Воспитательная :

• привитие навыков активной учебной деятельности.

Формы работы на уроке:

• коллективная,
• устная,
• письменная.

Оборудование :

• мультимедийный проектор,
• компьютер,
• презентация ,
• диск “Новые возможности для усвоения курса математики 5-11”.

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Постановка домашнего задания
3. Проверка домашнего задания
4. Изучение нового материала
5. Применение изученного материала
6. Самостоятельная работа (с проверкой в классе)
7. Подведение итогов урока

Ход урока

1.Постановка дом. задания

Дома: п22 №499, 501,508(учебник Ю.Н.Макарычев)

2.Проверка дом. задания с помощью презентации (Приложение 1)

(учащимся было предложено построить графики и перечислить свойства следующих функций: у = х, у = х 2 , у = 1/х, у = vх, у = х 3

3.Изучение нового материала.

Функция вида у=х к, где k- целое число называется степенной функцией. Те функции, которые рассматривались дома – степенные.

у = х, к=1 у = 1/х, к=-1

у = х 2 , к=2 у = vх, к=1/2

у = х 3 , к=3

Наша задача построить графики и перечислить свойства степенных функций при любом целом к.

С помощью диска учащиеся наблюдают, как меняется график функции в зависимости от к, делают выводы, которые записывают в тетрадь. (В виртуальной лаборатории диска можно построить график любой функции, в том числе и степенной. Если менять значения показателя, то и график меняет свой вид, поэтому выводы очевидны).

1) у=х 2п, п €N график функции парабола

(Рисунок 1)

2)у=х 2п+ 1 график функции кубическая парабола

(Рисунок 2)

3)у = 1/ х 2п+ 1 график функции гипербола

(Рисунок 3)

4)у = 1/ х 2п график данной функции не знаком учащимся, строим его в тетради и перечисляем свойства данной функции.

(Рисунок 4)

а) О.О.Ф. х-любое, кроме 0

б) Е(у): у>0

в) Н.Ф. нет

г) четная

д) возрастает при х < 0, а убывает при х > 0

е) наибольшего и наименьшего значения нет

4.Рассмотрим применение свойств функций в решении задач.

1)Решите уравнение 1/х 2 =3х-2

Учащиеся предлагают различные способы и приходят к выводу, что можно решить данное уравнение графически. График функции у=1/х 2 уже построен, осталось построить в этой же координатной плоскости график функции у = 3х-2.

(Рисунок 5)

Ответ: х=1.

2) у= х 2п, сравните:

f(-0,2) и f(-3)

3) у=х 2п+ 1 , сравните:

f(-0,2) и f(-3)

(задание выполняется вместе с учителем)

В ходе решения обращаемся постоянно к графику нужной функции, устанавливаем к какому интервалу принадлежат х, как ведет функция себя на этом интервале

5. Самостоятельная работа.

Задание на слайде.

Самопроверка

Последнее задание предлагается для более подготовленных учащихся.

6. Подведение итогов урока.

Обобщаем материал, рассмотренный на уроке. Акцентируем внимание на том, что график и свойства степенной функции зависят от показателя.

4.3 СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Содержание учебного материала:

1.Степенная функция, определение, обозначение.

2.Основные свойства степенной функции.

3.Графики степенной функции и их особенности.

4. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

5.Использование свойств функций для сравнения значений степеней.

Степенной называют функцию вида y = x r , где х- основание степени,

r – показатель степени, Свойства степенной функции определяются её показателем. Рассмотрим основные свойства степенных функций с различными показателями и их графики.

а) Свойства функции y = x r , r > 1

D(х) = }