指数とは何か、またはお茶を早く冷めにくくする方法。指数関数的な収入の増加、相乗効果、または「冬用タイヤ」というテーマの比較事例

雪玉が山を転がり落ちると、どんどん大きくなっていきます。大きくなればなるほど、回転も速くなり、回転も速くなり、成長も早くなります。

数学者や物理学者は数字を使って世界を説明するのが大好きです。さらに、関数の助けを借りて。関数とは、どの数値に従うかという規則です (たとえば、 ×) は別のものと対応付けられます (たとえば、 y）。関数は次のように単純なものにすることができます y=10xまたは y=x2、しかし、次のようなより複雑なものもあります y=10*sin(7x2+3x-9)。代わりに ×そして y特定の物理パラメータを代入し、それらを接続する関数を見つけると、自然法則が得られます。

関数には導関数もあります。これは関数の変化率です。つまりどれくらい変わるのかというと、 y小さな変化で ×。たとえば、関数の場合、 y=10x導関数は常に定数です。 y常に 10 倍の速さで成長します ×。そして関数の場合 y=x2導関数が変わります。増えたら × 0から1まで、そして yも 0 から 1 に増加します。 × 1から2へ、そして yは 1 から 4 に増加します。つまり、増加を伴う導関数です。 ×増えた。

関数は指数と呼ばれます y=ex、どこ e- 2.72 にほぼ等しい、難しい数学的数値。これには注目すべき特性があります。つまり、その導関数はそれ自体に等しいということです。つまり、雪玉が移動する距離が指数関数として時間に依存する場合、その速度は同じ指数関数で表されます。この特性は、数学者がさまざまな微分方程式を解くのに非常に役立ちます。彼らはそれを扱うのが大好きで、グラフを移動したり、伸ばしたり、反転したりして、他のさまざまな関数を指数関数に変えようとします。このような関数はすべて指数関数と呼ぶことができます。指数関数的に発生するプロセスには、同じ時間間隔で同じ回数だけパラメータが変化するという共通の特性があります。銀行預金は毎年 7% ずつ増加し、雪だるま式に 1 分あたり 3 回増加し、ウランの量は 235 個になります。原子力発電所 7億年ごとに半分になる。指数関数は私たちの周りに溢れています。フィードバックが存在するすべての現象は、結果がプロセスの速度に影響を与える場合、指数関数的に発展します。の場合雪だるま正のフィードバック: よりさらなる結果、プロセスの進行が速くなります。そして雪玉の質量と速度 y時間の経過とともに指数関数的に増加する ×。銀行に預けられているお金は、固定金利でも同様に動作します。どうやってより多くのお金、毎年の増加が大きいほど、そしてより多くのお金よりも早いモルディブの家には十分です。不在時には動物の数も増加します外部の脅威：個体数が多いほど繁殖個体数が多くなり、成長が早くなります。また、マイクをスピーカーに近づけると、最も静かなガサガサ音が一瞬で鳴り響くハム音に変わります。

フィードバックが否定的な場合もあります。結果が大きいほど遅くなります。プロセスが進行中です。たとえば、お腹が空くと私たちはすぐに食べ物を吸収し始めますが、空腹感が減るとすぐに落ち着いて食事をし始め、ゆっくりとデザートを食べ始めます。お茶は指数関数的に冷却されます。お茶と空気の温度差が大きければ大きいほど、より速く冷却されます。したがって、15分間緊急に気を紛らわす必要があるが、熱いお茶を飲みたい場合は、冷たい牛乳または水を注いでください。そうすると温度差が小さくなり、熱いお茶のようにすぐには冷めなくなります。

ギターの弦が速く動くほど、空気に対する減速も早くなるため、弦を弾いた後の音の音量は指数関数的に減少します。もう一つの例は核崩壊です。各原子核はランダムな瞬間に崩壊する可能性がありますが、原子核の数が多いほど、1 分間により多くの崩壊が発生します。原子核の崩壊が速ければ速いほど、原子核の数は減ります。これは、放射線の強度が時間の経過とともに減少することを意味します。

20 世紀後半の経済学の基礎となった偉大な神話の 1 つは、指数関数的成長の神話でした。テクノロジーの変化はさらに速くなり、経済も指数関数的に成長し、私たち全員が親よりも裕福になり、曽祖父よりも不釣り合いに裕福になると考えられていました。しかし、2000 年以降、少なくとも経済的にはうまくいかなくなったようです。この問題の一部は、インターネットと現代の通信によって可能になった新興市場への資本逃避にあります。しかし、この不便な現実の先には、テクノロジーの進歩、ひいては生活水準の向上の可能性が指数関数的な成長をまったくもたらさない可能性があるという、真に憂慮すべき考えが横たわっています。

何人かの愛好家のビジョンでは、指数関数的な技術進歩に対する信念は、すでに起こっているか、あるいは私たちを追い越そうとしている特異点に変わりました。それは人類の歴史の未来を過去とは大きく変えるほど強力な進歩のさらなる加速につながることが予想されます。

しかし、特異点の出現を歓迎する前に、この理論の支持者によれば、特異点は人間よりも賢い機械の出現によって引き起こされ、その後優位に立ってさらに賢いロボットを生み出し、そして去っていくだろうということに注意すべきである。背後にある人間性。したがって、特異点は人類の生活の質のほぼ無限の向上を意味するものではないでしょう。なぜなら、おそらくそのような超知能機械は人間の生活水準に特に関心を持たず、さらには私たちを被験者やペットとして利用したいとさえ思わないからです。（もし後者の場合、私は間違いなく排除候補の最前線に立つことになるでしょう。私には、我が家の猫エウドキシアが定期的に示すペットの資質を備えている可能性は低いです）。

論理的に考えると、人類の歴史の中ですでに起こった 3 つの特異点を特定できます。それは、言語の出現、遊牧生活から定住生活への移行です。農業、その後産業革命。これらの現象はそれぞれ人類の発展を10倍加速させ、進化だけの影響で数百万年を要した変化が、言語の出現から数十万年後、農業の発明により数万年後に起こり始めた。産業革命後、わずか 2 ～ 3 世紀の間に。これらの変化はそれぞれ、人生を完全に変えました。また、産業革命後はより速いペースで進み、1 つの短編で人間の命大きな技術革新が起こっています。

産業革命の特異点を詳しく見てみる価値はあります。それは約 200 年間続きましたが、初期のイノベーションはどれも生活に重大な変化をもたらしませんでした。車新人 1712 年に発明された、鉱山で水を汲み上げるためのエンジンは、大きな変化に直接つながることはなく、その後に、 ジェームズ・ワット、1769年まで（ワットエンジンが広く使用されるようになったのは1790年代になってから）。しかし、技術革命は、1662 年の王立協会設立の頃に始まり、その後も続いた人間の思考における同様に重要な革命を伴っていました。」国富» アダム・スミス（1776年）19世紀初頭まで。

したがって、1785 年の国民は 1660 年の祖先と比べて特に技術的進歩を享受しなかったにもかかわらず、1 世紀前の錬金術師は有名な絵画の中で嘲笑されていました。 ジョセフ・ライト』の表紙を務めています。 錬金術師の損失」産業革命の最初の巨大な技術的成果はその後にもたらされました。繊維生産は 1790 年代まで始まりませんでした。また、鉄道網は 1830 年以降まで出現しませんでした。しかし、特異点を形成した精神的な変化は 1785 年頃までにすでに生じていました。

この意味で、私たちはまだ特異点の脅威にさらされていません。世界のコミュニケーションと私たちの生活様式を根本的に変えたインターネットは、電灯、電話、自動車と同じように革命的な変化ではありません。実際、2010 年の生活は 1995 年の生活とは異なります。私たちは現在、1995 年よりもはるかに効率的に世界的な製造会社やサービス会社を組織することができます。若者は睡眠以外の人生のほとんどをインターネットや会話に費やします携帯電話、1995年以前には彼女にはできませんでした。

しかし、これは、以前の運命のテクノロジーの出現から 15 ～ 20 年後にも当てはまりました。鉄道が発明された 1845 年には、旅行パターンはすでに 1830 年とは異なっていました。 1905 年、電気が発明された後、都市の労働パターンは夕方の時間エンターテイメントも 1890 年のモデルとは大きく異なりました。このように、人生で田舎ティンリジー (フォードモデル T) の出現により、1925 年のアメリカは 1910 年とは完全に異なったものになりました。

したがって、これらの発明はそれぞれ、生活様式のいくつかの側面を根本的に変えましたが、同時に、産業革命のように発明と進歩のプロセスを加速することはありませんでした。発明の普及後、生活は変わりましたが、技術の進歩のペースは非常に緩やかでした。インターネットはこのタイプのイノベーションに似ています。インターネットは私たちの生活を大きく変えましたが、産業革命ほど変化を加速させたわけではなく、そのための前提条件はありません。実際、革命的な変化のほとんどを目撃した世代は、1889 年に生まれ 1973 年に亡くなった私の大叔母ベアトリスの世代であると主張する人もいるかもしれません。幼少期はガス灯と荷車を使い、老後は飛行機を全力で操縦し、月を訪れた。

今後を展望すると、たとえ特異点を引き起こさないとしても、変化のペースを加速させる可能性のあるテクノロジーの進歩が 3 つあります。それは、人間よりも賢い機械の創造、人間の認知能力を向上させる遺伝子操作方法の発見、人間の寿命の大幅な延長につながる可能性のある技術的、医学的、または遺伝的性質の発見です。。

スーパーロボットの可能性が特異点とされる最も一般的な理由と考えられてきたが、詳しく調べてみると、それが特異点につながる可能性は低いことが判明した。特異点理論家はムーアの法則を引用することを好みます。 ゴードン・ムーアそれによると、コンピューターの処理速度は 2 年ごとに 2 倍になります。しかし、実際には、私たちはこの進行の限界に深刻に近づいています。制限要因は、光の速度、マイクロプロセッサーの動作に必要なエネルギー (熱を発生します)、電磁放射の波長、および原子構造のサイズです。

ムーアの法則によれば、数世代以内に、私たちは進歩を著しく複雑にする一時的な障壁に近づき、5、6世代後には、同じ法則に従って、永久的な障壁に近づくことになるでしょう。現時点でテクノロジーによって進歩は不可能になります。コンピュータインテリジェンスの分野におけるさらなる進歩は、大規模な並列処理を備えたプログラミングとアーキテクチャの改善によって実現されることを認識しなければなりませんが、現実には、この分野における 2015 年から 2020 年の進歩の後は、加速ではなく大幅な減速が起こるでしょう。自動車設計における最後の真に革命的な変化が 1939 年のオートマチックトランスミッションの発明であったように、機械設計の際限のない進歩が徐々に自然な限界に達することは明らかです。

改善のための遺伝子工学精神的能力人間は間違いなく私たちの世界を変えるでしょうが、そのような変化はほとんどの西側の宗教団体や政府によって強く反対されるため、これはおそらくすぐには起こらないでしょう。既存の個体を複製するだけの単純なクローン作成ですら、この10年間あまり進歩しておらず、将来的には1世代遅れる可能性がある。たとえ政府の承認を得て、脳強化実験を開始する前に必要な安全性試験が開始されたとしても、最初のそのような試験では、脳の能力が増加するのではなく、単に既存のレベルまで増加するだけになる可能性がある。さらに、これらの子供たちは 15 歳になる前に成熟する必要があるため、高等教育今後 5 ～ 10 年かかりますが、これらの変化の結果が現れるのは 50 年後です。この意味では、スーパーロボットは、たとえ本物であっても、すぐに大人になるので、より早く作成できるでしょう。強化された人間の最初の個体は人間/新しい人間のほんの一部であるという事実を考慮すると、人類、ここからのマクロ加速は次の世紀まで期待できないことが明らかになります。

3 番目の潜在的な技術である寿命延長は、より興味深いものです。技術的に言えば、何らかの重大な影響（医学の進歩により90～100歳まで生きる人の割合が増加すること以外）を実現するには、より長生きするために同様のスキルが必要となる可能性が高い。ハイレベル知能。しかし、長寿の恩恵は明白で理論的には普遍的なものであるため、この地域では政治家や宗教指導者によるラッダイ派の抵抗ははるかに少ないだろう。一方で、すでに生きている人の平均寿命を延ばすことは、新たに長寿の人を生み出すことよりもはるかに難しく、おそらくそれはもっと後になるでしょう。

2050 年までに、私たちはおそらく 150 ～ 200 歳まで生きる子供たちを産むことができるようになるだろう (つまり、まだわかっていない制限要因を克服するのにかかる時間よりも長く生きることになるだろう。なぜなら、それらの制限要因は非生命的影響を及ぼさないからである)百寿者）。この後しばらくすると、既存の人々の平均余命を少なくとも部分的に延ばすことができるようになるでしょう。このような技術に対する潜在的な大量需要を考慮すると、大量生産によりコストが許容可能なレベルまで削減されるため、これらの技術はすぐにほとんどの人に普及するはずです。

しかし、増加する一方で、ライフサイクルそれは人の生活を大きく改善しますが、進歩を加速するものではありません。百寿者は私たちよりも包括的な教育を受けることになるため、少なくとも25歳になるまで働き始めることはありません。彼らは仕事に復帰すれば、遅れによって残りの人生が費やされることが少なくなるため、私たちよりもリスクを回避し、忍耐強くなるでしょう。さらに、これ以上加速しなくても、労働スキルが絶望的に時代遅れにならないように、20～25年ごとに繰り返し教育を受ける必要があるだろう。急速な変化の状況では彼らにとってのコストは私たちよりも大きくなり、利益は少なくなるため、彼ら自身も進歩を遅らせたいと思うでしょう。より高いレベルの知性と組み合わせてのみ、彼らは革命後の猛烈なペースの変化を受け入れることができるでしょう。

現時点では、私は前向きな変化が加速する可能性を考えていました。しかし、文明、生活水準、知識がより原始的なレベルに戻る可能性のある壊滅的なマイナスの変化が起こる可能性があります。この考えられる原因の 1 つは、世界大戦、おそらく50年前とは違うでしょう。もう一つの要因は環境災害である可能性があります。ここでは何も良いことは期待できません。現在の容赦ない人口増加は、減速するものの2050年までに止まらないと予想されているが、死亡者数の減少と出生率の増加により、平均寿命が200歳に伸びるという発見によってさらに悪化するだろう。繁殖能力は100年維持されるからです。地球温暖化が人口 70 億から 100 億人の世界で深刻な問題であるかどうかは疑問ですが、人口 200 億人の世界では間違いなく深刻な問題となるでしょう (したがって、資源の枯渇はより現実的な危険となるでしょう)。したがって、主な優先事項は、人口増加を遅らせる、あるいはさらに望ましいのは減少に戻すための対策であるべきである。結局のところ、最後の特異点が起こる前、世界の人口はわずか 10 億人でした。このレベルでは私たちの問題は環境そして資源は消滅してしまうだろう。

崩壊の可能性は別として、今後50年間で起こり得る2、3の技術開発（ムーアの法則の限界に達し、平均寿命が延びる）は、変化のペースを速めるのではなく、むしろ鈍化する可能性が高い。 3 番目の選択肢である遺伝子的に強化された知能のみが進歩を加速する可能性を持っていますが、この技術に対する組織的な反対により、非常に長い間遅れが生じる可能性があります。したがって、21 世紀の人類の発展曲線は、指数関数的ではなく漸近的[有限]になるでしょう。

人口増加が個体数に比例する場合、人口規模は指数関数的に増加します。

「指数関数的成長」という表現は、急速な、通常は制御不能な増加を意味する用語として私たちの辞書に組み込まれています。たとえば、都市の急速な成長や人口の増加を説明するためによく使用されます。ただし、数学ではこの用語は正確な意味を持ち、ある種の成長を示します。

指数関数的増加は、人口の増加 (出生数から死亡数を引いたもの) が人口内の個体数に比例する場合に発生します。たとえば、人間の集団の場合、出生率は生殖ペアの数にほぼ比例し、死亡率は人口の人数 (N とします) にほぼ比例します。次に、合理的な近似として、

人口増加 = 出生数 - 死亡数

(ここで r はいわゆる比例係数であり、比例式を方程式として書くことができます。)

dN を時間 dt 中に母集団に追加された個体数とすると、母集団に合計 N 個の個体が存在する場合、指数関数的増加の条件は次の場合に満たされます。

アイザックニュートンが 17 世紀に微分積分法を発明して以来、私たちは、任意の時点における集団のサイズである N についてこの方程式を解く方法を知っています。 (参考: このような方程式は微分と呼ばれます。) その解は次のとおりです。

ここで、N 0 はカウントダウン開始時の母集団内の個体数、t はこの時点からの経過時間です。記号 e はこの特別な数を表し、自然対数の底 (2.7 にほぼ等しい) と呼ばれ、方程式の右側全体は指数関数と呼ばれます。

指数関数的増殖とは何かをよりよく理解するために、最初は 1 つの細菌からなる集団を想像してください。を通してある時（数時間または数分後）細菌は 2 つに分裂し、それによって集団サイズが 2 倍になります。次の期間が経過すると、これら 2 つの細菌はそれぞれ再び 2 つに分裂し、集団のサイズは再び 2 倍になり、細菌の数は 4 つになります。このような倍加が 10 回行われた後は細菌の数が 1,000 を超え、20 回の後には 100 万を超え、というようになります。分割するたびに人口が2倍になると、その増加は無限に続きます。

チェスを発明した男はスルタンに大きな喜びを与え、彼の要求は何でも叶えると約束したという伝説があります（おそらく真実ではありません）。その男はスルタンに、チェス盤の最初のマス目に小麦を1粒、2番目に2粒、3番目に4粒というように置くように頼みました。スルタンは、自分が提供した奉仕に比べればこの要求は取るに足らないものであると考え、臣下に別の要求を考え出すよう求めたが、彼は拒否した。当然のことながら、64倍になるまでに穀物の数は、この要求を満たすのに十分な小麦が全世界に存在しないほどになってしまいました。私が知っている伝説では、当時のスルタンが発明家の首を切り落とすよう命じました。私が生徒たちに伝えている教訓は、「時には頭が良すぎるべきではない！」ということです。

チェス盤の例（および想像上の細菌）は、人口が永遠に増加することはできないことを示しています。遅かれ早かれ、宇宙、エネルギー、水などの資源が枯渇するだけです。したがって、人口が急激に増加するのはしばらくの間だけであり、遅かれ早かれその増加は減速するに違いありません。これを行うには、集団サイズが可能な最大値 (サポート可能な) に近づくように方程式を変更する必要があります。外部環境）成長率が鈍化した。この最大母集団サイズを K と呼びましょう。修正された方程式は次のようになります。

dN = rN(1 - (N/K)) dt

N が K よりもはるかに小さい場合、N/K 項は無視でき、通常の指数関数的成長の元の式に戻ります。ただし、N がその値に近づくと、最大値 K、値 1 - (N/K) はゼロになる傾向があり、それに応じて人口増加もゼロになる傾向があります。総数この場合、集団は安定し、レベル K に留まります。この方程式によって記述される曲線と方程式自体には、S 曲線、ロジスティック方程式、ヴォルテラ方程式、ロトカ・ヴォルテラ方程式などのいくつかの名前があります。（ヴィト・ヴォルテッラ（1860～1940）はイタリアの著名な数学者で教師、アルフレッド・ロトカ（1880～1949）はアメリカの数学者で保険アナリストでした。）それが何と呼ばれるものであれ、それは増加する人口の規模をかなり単純に表現したものです。急激に指数関数的に増加し、特定の制限に近づくと減速します。そして、それは通常の指数関数よりもはるかに実際の人口の増加を反映しています。

指数関数的な成長

人口増加が個体数に比例する場合、人口サイズは指数関数的に増加します。

指数関数的増加は、人口の増加 (出生数から死亡数を引いたもの) が人口内の個体数に比例する場合に発生します。たとえば、人間の集団の場合、出生率は生殖ペアの数にほぼ比例し、死亡率は人口に含まれる人の数にほぼ比例します（これを ) 。次に、合理的な近似として、

人口増加 = 出生数 - 死亡数

または
(これはいわゆる比例係数であり、比例の式を方程式の形で書くことができます。)

期間中に母集団に追加される個体数をとすると、母集団に個体の合計が存在する場合、次の場合に指数関数的増加の条件が満たされます。

アイザックニュートンが 17 世紀に微分積分法を発明して以来、私たちは、いつでも人口のサイズを求めるこの方程式を解く方法を知っています。 (参考: このような方程式は微分と呼ばれます。) その解は次のとおりです。
ここで、はカウントダウン開始時の母集団内の個人の数、はその瞬間からの経過時間です。記号はこの特別な数を表し、自然対数の底と呼ばれ (ほぼ 2.7 に等しい)、方程式の右側全体は指数関数と呼ばれます。

指数関数的増殖とは何かをよりよく理解するために、最初は 1 つの細菌からなる集団を想像してください。一定時間（数時間または数分）後、細菌は 2 つに分裂し、それによって集団サイズが 2 倍になります。次の期間が経過すると、これら 2 つの細菌はそれぞれ再び 2 つに分裂し、集団のサイズは再び 2 倍になり、細菌の数は 4 つになります。このような倍加が 10 回行われた後は細菌の数が 1,000 を超え、20 回の後には 100 万を超え、というようになります。分割するたびに人口が2倍になると、その増加は無限に続きます。

チェス盤の例（および想像上の細菌）は、人口が永遠に増加することはできないことを示しています。遅かれ早かれ、宇宙、エネルギー、水などの資源が枯渇するだけです。したがって、人口が急激に増加するのはしばらくの間だけであり、遅かれ早かれその増加は減速するに違いありません。これを行うには、人口サイズが（外部環境によってサポートできる）可能な最大値に近づくと、成長率が減速するように方程式を変更する必要があります。これを最大人口サイズと呼びましょう。

がはるかに小さい場合、この項は無視でき、通常の指数関数的成長の元の式に戻ります。ただし、最大値に近づくと、値はゼロになる傾向があり、それに応じて人口増加もゼロになる傾向があります。この場合の総人口サイズは安定し、そのレベルに留まります。

この方程式で記述される曲線、および方程式自体には、S カーブ、ロジスティック方程式、ヴォルテラ方程式、ロトカ・ヴォルテラ方程式など、いくつかの名前があります。（ヴィト・ヴォルテッラ、1860–1940 – 著名なイタリアの数学者および教師。アルフレッド・ロトカ、1880–1949 – アメリカの数学者および保険アナリスト。）それが何と呼ばれるものであれ、それは人口の規模が急激に指数関数的に増加し、その後一定の限界に近づくと速度が低下します。そして、それは通常の指数関数よりもはるかに実際の人口の増加を反映しています。

捕食者と被食者の関係

捕食者とその被食者の関係は周期的に発展し、中立的な均衡を示します。単純な数学モデルが複雑な生物学的システムをうまく説明する場合があります。この例としては、生態系における捕食者と被食者の長期的な関係が挙げられます。単一種の個体数増加の数学的計算 (上記参照) は、個体群密度の限界を説明できることを示しています。簡単な方程式

、特徴的な S 字カーブを出力します。これは、人口が少ない間は指数関数的に増加し、生態系が人口をサポートする能力の限界に達すると頭打ちになるという曲線です。この概念を簡単に拡張すると、捕食者と被食者の 2 つの種が相互作用する生態系を理解できるようになります。

こちらは捕食者がいない場合の草食動物の数の増加率、そして草食動物がいない場合の肉食動物の数の減少率です。定数とは、捕食者と被食者の遭遇によって個体群から草食動物が除去される割合、およびこれらの遭遇により捕食者が個体数に追加されることを可能にする割合です。最初の方程式のマイナス記号は、遭遇により被食者の個体数が減少することを示し、2 番目の式のプラス記号は、遭遇により捕食者の個体数が増加することを示します。ご覧のとおり、草食動物の数に変化があると肉食動物の数に影響があり、その逆も同様です。 2 つの母集団を一緒に考慮する必要があります。

これらの方程式を解くと、両方の集団が周期的に発展することがわかります。草食動物の個体数が増加すると、捕食者と被食者の遭遇の確率が増加し、それに応じて（ある程度の時間遅れの後）捕食者の個体数も増加します。しかし、捕食者の個体数が増加すると、（これも少し遅れて）草食動物の個体数が減少し、それが捕食者の子孫の数の減少につながり、これにより草食動物の数が増加する、という具合です。これら 2 つの集団は、時間に合わせてワルツを踊っているように見えます。一方が変化すると、もう一方もそれに続いて変化します。

ジェームズ・トレフィル著「科学の本質」百科事典。宇宙の200の法則。」
ジェームストレフィルは、ジョージメイソン大学 (米国) の物理学教授であり、西洋の人気科学本の著者の中で最も有名な人物の 1 人です。

科目：冬タイヤ。地域：ウクライナ。 マージン: 13%. プロモーション期間: 2012 年 1.09 ～ 31.12 対 2013 年 1.09 ～ 31.12。支出: 42,389 UAH 対 131,341 UAH。（仲介手数料含む）。

私は訓練を受けた数学者ではありませんが、この科学に情熱を持っているため、この記事では一見すると複雑な数学用語をいくつか使用します。

この記事の目的は、1 つの興味深い現象について説明することです。広告予算を 2 倍にすると、2 倍ではなく、2.5 倍、3 倍などの収益が得られるようになります。倍以上。もちろん、ある時点までは。数学におけるこの現象は指数関数的成長と呼ばれます。指数関数的増殖の例としては、資源制限が発生する前にコロニー内の細菌数が増加することが挙げられます。

たとえば、預金の収益を計算するときに複利に遭遇したことがある方なら、私たちが何を言っているのかすぐに理解できるでしょう。複利は指数関数的な成長の一例にすぎないからです。蓄積された資金を預金から引き出しない場合、収入の増加は直線的ではなく指数関数的に発生します。販売収入の増加も同様で、広告予算が増加すると収入は飛躍的に増加します。この記事の枠組みの中で、もう 1 つの現象を説明したいと思います。この現象のため、コンテキスト広告部門はそのように呼ばれなくなり、ペイドトラフィック部門と呼ばれるようになりました。それはについてです相乗効果について。

相乗効果とは何ですか？理想的な状況を想像してみましょう。オンラインストアがあり、最初の 1 か月間のみプロモーションが行われます。コンテキスト広告、20 件の売上をもたらし、2 か月目は SEO プロモーションのみを使用し、これも 20 件の売上をもたらしました。 3 か月目では、コンテキスト広告と SEO の両方が使用されました。最終的には 40 件ではなく 50 件の売上が得られました。これが相乗効果です。2 つ以上の要素の相互作用により、それぞれの要素よりも大きな結果の増加が得られる状況です。別途製作することも可能でした。

2 つ以上の広告チャネルを同時に使用することで、より大きな利益が得られます。当社のインターネットマーケティング担当者は、相乗効果を直接知っており、できるだけ多くの広告チャネルを使用するよう努めています。この小さなトリックに注意することをお勧めします :) 次に、上記のすべてを説明する具体的な例、つまりタイヤをテーマにした「有料交通」サービスの例に移りましょう。

Google Analytics の最新のスクリーンショットをすぐに添付します。ケースの読者がこのスクリーンショットをとても気に入っていることはわかっているからです。

この事例は、私が昨年投稿したプロジェクトの作業のさらなる結果を反映しています。この2年間を比較してみましょう。まず、2012 年と 2013 年の各シーズンの支出を比較してみましょう (シーズンとは 9 月 1 日から 12 月 31 日までの期間を意味します)。

価格アグリゲーターでの広告。
コンテキスト広告。

2012 シーズンには、広告は Google 広告で使用され、Yandex.Market と Hotline.ua の 2 つの価格表に掲載されました。 2013 年の同様の時期に、広告はすでに Google 広告、Yandex.Direct、および 10 社の価格アグリゲーターで使用されていました。追加の広告チャネルの使用により、コストがほぼ 310% 増加しました。ここで、広告費が 310% 増加したことでプロジェクトの収益がどのように増加したかを見てみましょう。

したがって、広告費を 310% 増加させることで、クライアントの収入は 310% ではなく 573% 増加したことがわかります。素晴らしいですね?! つまり、支出と比較した収入の増加は直線的ではなく、指数関数的に発生します。

このような結果を得るには、もちろん相乗効果がありました。

売上総利益の伸びを見てみましょう。

トランザクション数がどのように増加したかについても説明してみましょう。

このスクリーンショットにより、平均チェックの状況について結論を導き出すことができます。収入が 573% 増加し、販売数が 557% 増加した場合、平均小切手がわずかに増加していることが明らかになります。

Google Analytics からの収入、経費、利益に関するデータがあれば、次の式を使用して最も重要なパフォーマンス指標である ROMI (マーケティング投資収益率) を計算してみましょう。

ROMI = ((収益 × マージン) - 顧客経費) / 顧客経費

それでは、2 つのシーズンの ROMI の結果を比較してみましょう。

ROMI を計算する際に、Google Analytics が示す収入のみを考慮したことに注意することが重要です。つまり、電話による売上のさらに 80% は考慮されていません。つまり、電話による売上のみが考慮されています。クライアントの収入の 20% が受け取られます - これはちょうど 5 番目の部分です。

電話注文の 80% を考慮して ROMI を計算すると、非常に興味深い状況が浮かび上がります。これを行うには、収入に 5 を掛けて、通常どおり数えてみましょう。

現実に近い収入に基づいたROMIの成長はさらに魅力的に見えます。ただし、これは単なる ROMI の問題ではなく、実際の売上高の増加、つまり顧客の大幅な増加 -> 売上の大幅な増加です。

2013年シーズンの結果をもう一度。

顧客の経費：131,341UAH。（仲介手数料含む）。 マージン: 13%. トランザクション数: 880. Google アナリティクスの収益：1,317,166.2UAH。 売上総利益（電話注文含む）：856,158UAH。 ROMI（売上総利益別） （電話でのご注文も含む） : 551,86%.

もちろん、得られる結果は限界とは程遠く、広告予算を増やす余地がある > クライアントの収入が増える余地がある。来シーズンは、間違いなく追加の広告チャネルを使用する予定です (その数はおそらく終わりません)。

新しいシーズンの必須機能の 1 つは、電話注文追跡ツール ifTheyCall の使用です。これは Netpeak の新製品ですが、2013 年 9 月から 12 月のシーズンには使用する時間がありませんでした。このツールを使用すると、各広告チャネルの影響をより正確に評価し、予算を再配分して、さらに効果を高めることができます。

その結果を写真の形で説明します。

グラフからわかるように、損益分岐点は以下になります。この時点に達するまでは、広告への投資は報われません。たとえば、100 UAH を費やした場合です。 100 回のクリックを獲得するには、これらの投資を回収できる売上が得られる確率は実質的に 0 に等しいです。グラフの 2 番目の点が最適点 (そう呼びましょう) です。これは、最大金額を投資したときです。広告を出して最大限の収入を得る。この時点を過ぎると、飽和状態に移行します。つまり、市場は飽和し、誰もが広告でカバーされます。潜在的な買い手、広告への投資を増やしても収入は増えなくなりました。広告予算が損益分岐点を下回っている場合、広告に 2 倍投資することで、最適点に達するまで収入が飛躍的に増加する可能性があります。