Треугольнике abc проведены биссектрисы an bl

5.3 Медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.

Медианы треугольника, делящие, по определению, его стороны пополам, пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана, проведенная к данной стороне, вычисляется из равенства параллелограмма (см. п. 5.2), построенного на этой стороне и удвоенной медиане8^ как на диагоналях (рис. 10):

\(с2 + (2т)2 -2а2 + 2Ь2\).

Биссектрисы треугольника, делящие, по определению, его углы пополам, пересекаются в одной точке - центре вписанной окруж¬ности.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сто¬рону в отношении прилежащих сторон (рис. 11)

\(х: у = а: b\)

Медиана продлевается на свою длину за середину стороны.

\(I2 = ab - ху\).

Рис. 10

Рис. 11

Высоты треугольника, т. е. перпендикуляры к его сторонам, пересекаются в одной точке.

Они используются, прежде всего, при вычислении площадей (см. п. 5.1).

Пример .

Медианы \(AM\) и \(BN\) треугольника \(АВС\) взаимно перпендикулярны.

Найти \(АВ\), если \(ВС = а\) и \(АС = 6\).

Решение. См. рис. 12:

1) \(МК = х\), \(NK = у\) =>

\(АК - 2®, ВК = 2у\) (свойство медиан);

В случае тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а их продолжения.

\(х2 4- (2у)2 = (а/2)2 2)\)

\(У2 + (2х)2 = (Ь/2)2\) (теорема Пифагора) =>

\(z2 = (2х)2 + (2у)2 f 5(ж2 + у2) _ а2+Ь2 “ 4 \)=>

\(%z2 - “2+ь2 . [г2= 4(х2+у2)\)

Ответ: \(У/\)

319 .Медианы AM и CN треугольника АВС взаимно перпендикулярны. Найти площадь треугольника АВМ, если ВС = а и АС = b.

320. Медианы ВМ и CN треугольника АВС пересекаются в точке К. Найти расстояние от точки К до прямой ВС, если ВС = α, ZB = β и ZC =γ.

321. Найти угол С треугольника АВС со сторонами АС = а, ВС=b и медианой СМ=m.

322 . В треугольнике АВС проведены высота ВН и медиана ВМ. Найти cos ZMBH, если АВ = 1 ,ВС = 2 и AM = ВМ.

323. Найти углы треугольника АВС, если его медиана ВМ равна половине стороны АС, а один из углов, образованных биссектрисой BL и стороной АС, равен 55°.

324 . В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и на боковую сторону, равны тип соответственно. Найти стороны треугольника.

325. В треугольнике АВС с острыми углами ∠A = α, ∠ B = β и стороной АВ = с продолжения высот АН и В К пересекаются в точке D. Найти расстояние от точки D до прямой АВ.

326 . В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и СК. Найти радиус описанной около тре¬угольника АВС окружности, если НК = 2\/2, а площади треугольников АВС и ВНК равны 18 и 2 соответственно.

327 . В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и СК. Найти площадь круга, описанного около треугольника КВН, если АС = 1 и ZKCH = а.

328. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AL. Найти AL, если BL = Ь и СЬ = с.

329 . В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Найти cos ZADC, если АВ = 4 и АС = ВС = 12.

330. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD = З\frac{sqrt2}{2}. Найти площадь треугольника, если ВС = 2 и DC = 1.

331. Найти стороны треугольника АВС, если его биссектриса BL = 4 и медиана AM - 4 перпендикулярны друг другу.

332. В треугольнике АВС периметром 28 биссектрисы AD и BE пересекаются в точке М. Найти АВ, если АВ = BE и ВМ = 2 ME.

333. Продолжение биссектрисы CD треугольника АВС пересекает описанную около него окружность в точке Е. Найти АС, если АВ = 3, ВС 2 АС и DE = 1.

334. На высоте СН = \/б/3 треугольника АВС со стороной АВ = \/3/2 лежит центр окружности, вписанной в угол В. Найти радиус окружности, если АН: ВН = 2:1.

335 . На сторонах АВ = 6 и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Перпендикуляры к прямым АВ и ВС, опущенные из точек N и М соответственно, пересекаются в точке К, а прямая В К пересекает сторону АС в точке L. Найти BL, если AL = 4 и CL = 5.

336*. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и С в точках М и N соответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две биссектрисы в точках L и К, причем точка К лежит на основании AD. В каком отношении прямая LN делит сторону АВ, а прямая МК - сторону ВС? Найти MN: KL, если LM: KN = 3:7.

О т в е т: 4.

Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ , которую центр О вписанной окружности делит в отношении . Найдите АВ , если

,

.

По свойству биссектрисы треугольника АВЕ

,

,

.

О т в е т: 6.

Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.

CN – биссектриса в треугольнике АСК , следовательно,

Треугольник

– прямоугольный, поэтому

,

,

,

, .

О т в е т:

.

Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а биссектриса В F смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС , если

.

Имеем

,

.

.

Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты ВМ , проведенной к стороне АС . Из треугольника BDF найдем

. Тогда , .

,

.

О т в е т: 10.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 54.

2. В треугольнике ВСЕ

,

. Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ , если радиус описанной около треугольника окружности равен

.

О т в е т: 18.

3. Дан треугольник АВС . Его высота BD равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС . Найдите длину этого перпендикуляра, если

.

О т в е т:16.

4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL BLD , если известны длины сторон треугольника АВС :

см;

см; см.

О т в е т: 2,25.

5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D . Найдите площадь треугольника ADC , если

, ,

.

О т в е т:

.

6. В треугольнике АВС

,

,

. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В .

О т в е т: 1:2.

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

О т в е т: 4,8.

Длина биссектрисы

Ключевая задача. Докажите, что если две стороны треугольника равны a и b , угол между ними равен , то длина биссектрисы, проведенной к третьей стороне, может быть вычислена по формуле:

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

– биссектриса

треугольника

.

Задачи системы:

Задача 1 . В треугольнике выполняется соотношение

. Найдите градусную меру угла А .

Р е ш е н и е. По ключевой задаче

, а

. Так как в треугольнике АВС выполняется соотношение , то

. Откуда

. Следовательно,

, а

.

О т в е т: 120 0 .

Задача 2. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12.

Используя формулу понижения степени

, найдем синус угла АВС :

.

,

.

О т в е т:

.

Задача 3. Плоскость отсекает от боковых ребер SA , SB , SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD отрезки S К, SL , SM , причем

,

,

. Длина бокового ребра равна а . Найдите длину отрезка SN , отсекаемого этой плоскостью на ребре SD .

В треугольнике АВС проведена высота АН и биссектриса BL. Найдите угол ABL,если угол BAH равен 50 градусам *(С дано пожалуйста)

Ответ:

Ты уж прости, постараюсь без рисунка, не знаю как с телефона залить. Дано: треугольник ABC AH - высота BL - биссектриса BAH = 50град найти ABL - ? Решение: AHB = 90 град - так как АН высота AHB + HBA + BAH = 180 град (сумма углов треугольника) 90 + HBA + 50 = 180 => HBA = 40 град ABL = ABC/2 (так как BL - биссектриса) ABC = ABH = 40 град => ABL = ABH/2 = 20 град. Ответ: ABL = 20 град

Похожие вопросы

• Помогите пожалуйста решить Подберите верный английский перевод: Задание1)Мне хотелось бы поехать в Санкт-Петербург 1)I would go 2)I would like to go 3)I wish I went Задание 2. как бы мне хотелось быть сейчас дома 1)I would like to be at home 2)I should like to be at home 3) I wish I were at home Задание 3.Не хотите ли выпить чашечку чая? 1)would like you to have a cup of tea ? 2)would like be so kind to have a cup of tea ? 3)would like be so kind as to have a cup of tea ? Выберите подходящее наречие времени: Задание 1)f she had her dictionary ... she wouldn"t have prublems with her test 1)now 2)yesterday Задание 2) If my brother had told me about that ... I wouldn"t go there today 1)now 2)yesterday Подберите соответствующее продолжение высказывания: Задание 1) If I were you and had a meal vocation there are many places in the United States that a)I would like to visit b)I wish to visit c)I would have visited Задание 2)If you have time , ... the Linooln memorial a)you could have visited b)you could visit c) you can visi
• Помогите пожалуйста не знаю как решать. У человека имеется два вида слепоты, и каж??ая определяется своим рецессивным аутосомным геном, которые не сцеплены. Какова вероятность рождения слепого ребенка, если отец и мать страдают одним и тем же видом слепоты и оба дигомозиготны? Какова вероятность рождения слепого ребенка, если оба родителя дигомозиготны и страдают разными видами наследственной слепоты?
• Хитрец сложил семь чисел и получил в сумме 2016. одним из слагаемых является число 201. весельчак изменил его на 102 и подсчитал сумму полученных семи чисел. какой отве получил весельчак
• V. Underline the right options. 1Если у меня будет время, то я приду сегодня. a) will have b) have c) would come d) will come 2. Если бы у меня было время, я пришел бы сегодня (мечтатель). a) had b) had had c) would come d) would have come. 3. Если бы у меня было время, я пришел бы вчера (поезд ушел). a) had b) had had c) would come d) would have come. 4. Если бы я знал английский язык, то перевел бы текст сам (мечтатель). a) knew b) has know c) would translate d) would have translated. 5. Если бы я тогда знал английский язык, то перевел бы текст сам (поезд ушел). a) knew b) had known c) would translate d) would have translated. 6) Если бы он жил в большом городе, то не пропускал бы выставок живописи (мечтатель). a) live b) lived c) wouldn"t miss d) wouldn"t have missed. 7) Если я поеду в Вашингтон, то посещу Капитолий. a) will go, b) go c) visit, d) will visit 8) Если бы я была в Вашингтоне, то посетила бы Капитолий (мечтатель). a) were b) was c) will visit d) would visit 9) Если бы у меня было свободное время сегодня или завтра, я сделала бы эту работу сама (мечтатель). a) have b) had c) would have done d) would do
• 1)как доказать что в пробирке находиться: а)глицерол (написать уравнение реакции,и какие реагенты используются,и что случиться с раствором) б)крахмал (написать уравнение реакции,и какие реагенты используются,и что случиться с раствором) 2)доказать что в:яблоко,другой фрукт,мед,есть глюкоза(написать уравнения,реагенты, наблюдения)
• Школьники собрали макулатуру и решили сдать ее.Городской пункт приема макулатуры принимает макулатура по 20 рублей за 1 кг,и еще 5 кг как благотворительный взнос,независимо от количества сдаваемой макулатуры.Частный пункт приема макулатуры дает по 15 рублей за 1 кг макулатуры, и за услугу берет 1 рубль(тоже независимо от количества макулатуры).Дети установили,что им все равно, в каком из пунктов приема сдавать макулатуру,Какое количество макулатуры он собираются сдать?(ответ в граммах) Помогите срочно)