Урок физики «Механические и электромагнитные колебания. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Собственные незатухающие электромагнитные колебания

Электромагнитными колебаниями называютсяколебания электрических зарядов, токов и физических величин, характеризующих электрические и магнитные поля.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармонические колебания описываются уравнениями

Или .

Различают колебания зарядов, токов и полей, неразрывно связанных друг с другом, и колебания полей, существующих в отрыве от зарядов и токов. Первые имеют место в электрических цепях, вторые – в электромагнитных волнах.

Колебательным контуром называется электрическая цепь, в которой могут происходить электромагнитные колебания.

Колебательным контуром служит любая замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С, катушки индуктивности с индуктивностью L и резистора сопротивлением R , в которой происходят электромагнитные колебания.

Простейший (идеальный) колебательный контур – это соединенные между собой конденсатор и катушка индуктивности. В таком контуре емкость сосредоточена только в конденсаторе, индуктивность – только в катушке и, кроме того, омическое сопротивление контура равно нулю, т.е. нет потерь энергии на тепло.

Чтобы в контуре возникли электромагнитные колебания, контур необходимо вывести из состояния равновесия. Для этого достаточно зарядить конденсатор или возбудить ток в катушке индуктивности и предоставить самому себе.

Сообщим одной из обкладок конденсатора заряд + q м. Из-за явления электростатической индукции вторая обкладка конденсатора зарядится отрицательным зарядом – q м. В конденсаторе возникнет электрическое поле с энергией .

Так как катушка индуктивности подсоединена к конденсатору, то напряжения на концах катушки будут равны напряжению между обкладками конденсатора. Это приведет к направленному движению свободных зарядов в контуре. Вследствие этого в электрической цепи контура наблюдается одновременно: нейтрализация зарядов на обкладках конденсатора (разрядка конденсатора) и упорядоченное движение зарядов в катушке индуктивности. Упорядоченное движение зарядов в цепи колебательного контура называется разрядным током.

Из-за явления самоиндукции разрядный ток начнет увеличиваться постепенно. Чем больше индуктивность катушки, тем медленнее растет разрядный ток.

Таким образом, разность потенциалов, приложенная к катушке, ускоряет движение зарядов, а эдс самоиндукции, напротив, тормозит их. Совместное действие разности потенциалов и эдс самоиндукции приводит к постепенному нарастанию разрядного тока . В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится, ток в цепи достигнет максимального значения I м.

Этим завершается первая четверть периода колебательного процесса .

В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов на его обкладках, заряд обкладок и напряженность электрического поля уменьшаются, при этом ток через катушку индуктивности и индукция магнитного поля возрастают. Энергия электрического поля конденсатора постепенно превращается в энергию магнитного поля катушки.

В момент завершения разрядки конденсатора энергия электрического поля будет равна нулю, а энергия магнитного поля достигает максимума

,

где L – индуктивность катушки, I m – максимальный ток в катушке.

Наличие в контуре конденсатора приводит к тому, что разрядный ток на его обкладках обрывается, заряды здесь тормозятся и накапливаются.

На той обкладке, по направлению к которой течет ток, накапливаются положительные заряды, на другой обкладке – отрицательные. В конденсаторе вновь возникает электростатическое поле, но теперь уже противоположного направления. Это поле тормозит движение зарядов катушки. Следовательно, ток и его магнитное поле начинают убывать. Уменьшение магнитного поля сопровождается возникновением эдс самоиндукции, которая препятствует уменьшению тока и поддерживает его первоначальное направление. Благодаря совместному действию вновь возникшей разности потенциалов и эдс самоиндукции ток уменьшается до нуля постепенно. Энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического поля. Этим завершается половина периода колебательного процесса. На третьей и четвертой частях описанные процессы повторяются, как на первой и второй частях периода, но в обратном направлении. Пройдя все эти четыре стадии, контур вернется в исходное состояние. Последующие циклы колебательного процесса будут в точности повторяться.

В колебательном контуре периодически изменяются следующие физические величины:

q - заряд на обкладках конденсатора;

U - разность потенциалов на конденсаторе и, следовательно, на концах катушки;

I - разрядный ток в катушке;

Напряженность электрического поля;

Индукция магнитного поля;

W E - энергия электрического поля;

W B - энергия магнитного поля.

Найдем зависимости q , I , , W E , W B от времени t .

Для нахождения закона изменения заряда q = q(t), необходимо составить для него дифференциальное уравнение и найти решение этого уравнения.

Так как контур идеальный (т.е. не излучает электромагнитных волн и не выделяет тепла), то его энергия, состоящая из суммы энергии магнитного поля W B и энергии электрического поля W E , остается неизменной в любой момент времени.

где I(t) и q(t) – мгновенные значения тока и заряда на обкладках конденсатора.

Обозначив , получим дифференциальное уравнение для заряда

Решение уравнения описывает изменение заряда на обкладках конденсатора со временем.

,

где - амплитудное значение заряда; - начальная фаза; - циклическая частота колебаний, - фаза колебаний.

Колебания любой физической величины, описывающей уравнением, называют собственными незатухающими колебания. Величину называют собственной циклической частотой колебаний. Период колебаний Т – наименьший промежуток времени, по истечении которого физическая величина принимает то же значение и имеет ту же скорость.

Период и частота собственных колебаний контура вычисляются по формулам:

Выражение называют формулой Томсона.

Изменения разности потенциалов (напряжения) между обкладками конденсатора со временем

, где - амплитуда напряжения.

Зависимость силы тока от времени определяется соотношением –

где - амплитуда тока.

Зависимость эдс самоиндукции от времени определяется соотношением –

где - амплитуда эдс самоиндукции.

Зависимость энергии электрического поля от времени определяется соотношением

где - амплитуда энергии электрического поля.

Зависимость энергии магнитного поля от времени определяется соотношением

где - амплитуда энергии магнитного поля.

В выражения для амплитуд всех изменяющихся величин входит амплитуда заряда q m . Эта величина, а также начальная фаза колебаний φ 0 определяются начальными условиями – зарядом конденсатора и током в контуре в начальный момент времени t = 0.

Зависимости
от времени t приведены на рис.

При этом, колебания заряда и разности потенциалов совершаются в одинаковых фазах, ток отстает по фазе от разности потенциалов на , частота колебаний энергий электрического и магнитного полей в два раза больше частоты колебаний всех других величин.

>> Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

§ 29 АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости x , а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания .

Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F x упр, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.

Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое про порционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как u = q.

Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием сильт и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела т при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока

Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние x m от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение c энергией конденсатора замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х m соответствует заряду q m .

Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела x под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).

Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.

Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний - смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.

При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Тема урока .

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями.

Цели урока:

Дидактическая – провести полную аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями, выявив сходство и различие между ними ;

Образовательная – показать универсальных характер теории механических и электромагнитных колебаний;

Развивающая – развивать когнитивные процессы учащихся, основываясь на применении научного метода познания: аналогичности и моделировании;

Воспитательная – продолжить формирование представлений о взаимосвязи явлений природы и единой физической картине мира, учить находить и воспринимать прекрасное в природе, искусстве и учебной деятельности.

Вид урока :

комбинированный урок

Форма работы:

индивидуальная, групповая

Методическое обеспечение :

компьютер, мультимедийный проектор, экран, опорный конспект, тексты самостоятельной работы.

Межпредметные связи :

физика

Ход урока

Организационный момент.

На сегодняшнем уроке мы проведем аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями.

I I. Проверка домашнего задания.

Физический диктант.

Из чего состоит колебательный контур?

Понятие (свободных) электромагнитных колебаний.

3. Что необходимо сделать, чтобы в колебательном контуре возникли электромагнитные колебания?

4. Какой прибор позволяет обнаружить наличие колебаний в колебательном контуре?

Актуализация знаний.

Ребята, запишите тему урока.

А сейчас мы проведем сравнительные характеристики двух видов колебаний.

Фронтальная работа с классом (проверка осуществляется через проектор).

(Слайд 1)

Вопрос учащимся: Что общего в определениях механических и электромагнитных колебаний и чем они отличаются!

Общее: в обоих видах колебаний происходит периодическое изменение физических величин.

Отличие: В механических колебаниях - это координата, скорость и ускорение В электромагнитных - заряд, сила тока и напряжение.

(Слайд 2)

Вопрос учащимся: Что общего в способах получения и чем они отличаются?

Общее: и механические, и электромагнитные колебания можно получить с помощью колебательных систем

Отличие: различные колебательные системы - у механических - это маятники, а у электромагнитных - колебательный контур.

(Слайд3)

Вопрос учащимся : « Что общего в показанных демонстрациях и их отличие?»

Общее: колебательная система выводилась из положения равновесия и получала запас энергии.

Отличие: маятники получали запас потенциальной энергии, а колебательная система - запас энергии электрического поля конденсатора.

Вопрос учащимся : Почему электромагнитные колебания нельзя наблюдать также как и механические (визуально)

Ответ: так как мы не можем увидеть, как происходит зарядка и перезарядка конденсатора, как течёт ток в контуре и в каком направлении, как меняется напряжение между пластинами конденсатора

Самостоятельная работа

(Слайд3)

Учащимся предлагается самостоятельно заполнить таблицу Соответствиея между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах

III . Закрепление материала

Закрепляющий тест по данной теме:

1. Период свободных колебаний нитяного маятника зависит от...
А. От массы груза. Б. От длины нити. В. От частоты колебаний.

2. Максимальное отклонение тела от положения равновесия называется...
А. Амплитуда. Б. Cмещение. В. Период.

3. Период колебаний равен 2 мс. Частота этих колебаний равна А. 0.5 Гц Б. 20 Гц В. 500 Гц

(Ответ: Дано:
мс с Найти:
Решение: Гц
Ответ: 20 Гц)

4. Частота колебаний 2 кГц. Период этих колебаний равен
А. 0.5 с Б. 500 мкс В. 2 с (Ответ: T= 1\n= 1\2000Гц = 0,0005)

5. Конденсатор колебательного контура заряжен так, что заряд на одной из обкладок конденсатора составляет +q . Через какое минимальное время после замыкания конденсатора на катушку заряд на той же обкладке конденсатора станет равным – q, если период свободных колебаний в контуре Т?
А. Т/2 Б. Т В. Т/4

(Ответ: А) Т/2 потому что еще через T/2 заряд снова станет +q)

6. Сколько полных колебаний совершит материальная точка за 5 с, если частота колебаний 440 Гц?
А. 2200 Б. 220 В. 88

(Ответ: U=n\t отсюда следует n=U*t ; n=5 c * 440 Гц=2200 колебаний)

7. В колебательном контуре, состоящем из катушки, конденсатора и ключа, конденсатор заряжен, ключ разомкнут. Через какое время после замыкания ключа ток в катушке возрастёт до максимального значения, если период свободных колебаний в контуре равен Т?
А. Т/4 Б. Т/2 В. Т

(Ответ: Ответ T/4 при t=0 емкость заряжена, ток равен нулю через Т/4 емкость разряжена, ток максимальный через Т/2 емкость заряжена противоположным напряжением, ток равен нулю через 3Т/4 емкость разряжена, ток максимальный, противоположный тому что при Т/4 через Т емкость заряжена, ток равен нулю (процесс повторяется)

8. Колебательный контур состоит
А. конденсатора и резистора Б. конденсатора и лампы В. конденсатора и катушки индуктивности

IV . Домашнее задание

Г. Я. Мякишев §18, стр.77-79

Ответить на вопросы:

1. В какой системе возникают электромагнитные колебания?

2. Как осуществляется превращение энергий в контуре?

3. Записать формулу энергии в любой момент времени.

4. Объяснить аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями.

V . Рефлексия

сегодня я узнал (а)…

было интересно узнать…

было трудно выполнять…

теперь я могу решать..

я научился (лась)…

у меня получилось…

я смог(ла)…

я попробую сам(а)…

(Слайд1)

(Слайд2)

(Слайд3)

(Слайд4)

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Колеба́ния - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

Классификация по физической природе :

-Механические (звук,вибрация)
-Электромагнитные (свет,радиоволны,тепловые)

Характеристики:

• Амплитуда - максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы, А (м)
• Период - промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T (сек)
• Частота - число колебаний в единицу времени, v (Гц, сек −1) .

Период колебаний T и частота v - обратные величины;

T=1/v и v=1/T

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота W (рад/сек, Гц, сек −1) , показывающая число колебаний за 2П единиц времени:

w = 2П/T = 2ПV

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями (с колебаниями тела,закрепленного на пружине).

Сходство относится к процессам периодического изменения различных величин.
-Характер изменения величин объясняется,имеющейся аналогией в условиях,при которых порождаются механические и электромагнитные колебания.

-Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости,пропорциональной смещению тела от положения равновесия.

Коэффициент пропорциональности -это жесткость пружины k .

Разрядка конденсатора(появление тока) обусловлена напряжением u между пластинами конденсатора,которое пропорционально заряду q .
Коэффициент пропорциональности - 1/С,обратный емкости (так как u = 1/C*q )

Подобно тому как вследствие инертности тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю,электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу,когда это напряжение становится равным нулю.Индуктивность контура L играет ту же роль,что и масса тела m в механике.Соответственно кинетической энергии тела mv(x)^2/2 отвечает энергия магнитного поля тока Li^2/2.

Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу,прикрепленному к пружине,потенциальной энергии при смещении тела (например рукой)на расстоянии Xm от положения равновесия (рис.75,а). Сравнивая это выражение с энергией конденсатора,замечаем,что жесткость К пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль,как величина 1/C,обратная емкости при электромагнитных колебаниях,а начальная координата Xm соответствует заряду Qm.

Возникновение в электрической цепи тока i за счет разности потенциалов соответствует появлению в механической колебательной системе скорости Vx под действием силы упругости пружины (рис.75,б)

Моменту,когда конденсатор разрядится,а сила тока достигнет максимума,соответствует прохождение тела через положение равновесия с максимальной скоростью (рис.75,в)

Далее конденсатор начнет перезаряжаться,а тело -смещаться влево от положения равновесия (рис.75,г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение,когда его скорость равна нулю(рис.75,д).

При электромагнитных колебаниях в колебательной системе происходят периодические изменения физических величин, связанных с изменениями электрического и магнитного полей. Простейшей колебательной системой такого типа является колебательный контур , то есть цепь, содержащая индуктивность и емкость.

Благодаря явлению самоиндукции в такой цепи возникают колебания заряда на обкладках конденсатора, силы тока, напряженностей электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, энергии этих полей и т.д. При этом математическое описание колебаний оказывается полностью аналогичным рассмотренному выше описанию механических колебаний. Приведем таблицу физических величин, являющихся взаимными аналогами при сравнении двух типов колебаний.

Механические колебания пружинного маятника	Электромагнитные колебания в колебательном контуре
m – масса маятника	L – индуктивность катушки
k – жесткость пружины	– величина, обратная емкости конденсатора.
r – коэффициент сопротивления среды	R – активное сопротивление контура
x – координата маятника	q – заряд конденсатора
u – скорость маятника	i – cила тока в контуре
Е р – потенциальная энергия маятника	W E – энергия электр. поля контура
Е к – кинетическая энергия маятника	W H – энергия магнит. поля контура
F m – амплитуда внешней силы при вынужденных колебаниях	E m – амплитуда вынуждающей ЭДС при вынужденных колебаниях

Таким образом, все математические соотношения, приведенные выше, можно перенести на электромагнитные колебания в контуре, заменив все величины на их аналоги. Например, сравним формулы для периодов собственных колебаний:

– маятник,

– контур. (28)

Налицо их полная идентичность.

Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные.

В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте.

Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида.

Механические волны

Приведем основные понятия и характеристики волн.

x – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).

l – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2p (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):

где u – фазовая скорость волны, T – период колебаний.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность).

В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид

x (х, t) = x m cos(wt – kx) , (30)

где – волновое число.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

где – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности.

Уравнением сферической волны будет

, (32)

из чего видно, что амплитуда сферической волны убывает по закону 1/r.

Фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой движутся волновые поверхности, зависит от свойств среды, в которой распространяется волна.

фазовая скорость упругой волны в газе, где g – коэффициент Пуассона, m – молярная масса газа, T – температура, R – универсальная газовая постоянная.

фазовая скорость продольной упругой волны в твердом теле, где E – модуль Юнга,

r – плотность вещества.

фазовая скорость поперечной упругой волны в твердом теле, где G – модуль сдвига.

Волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Количество энергии, переносимой волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она равна потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространению волны, а по направлению совпадает с направлением фазовой скорости волны.

, (36)

где w – объемная плотность энергии волны в данной точке.

Вектор иначе называется вектором Умова.

Среднее по времени значение модуля вектора Умова называется интенсивностью волны I.

I = < j > . (37)

Электромагнитные волны

Электромагнитная волна – процесс распространения в пространстве электромагнитного поля. Как говорилось ранее, математическое описание электромагнитных волн аналогично описанию механических волн, таким образом, необходимые уравнения можно получить, заменив в формулах (30) – (33) x на или , где –напряженности электрического и магнитного полей. Например, уравнения плоской электромагнитной волны выглядят следующим образом:

. (38)

Волна, описываемая уравнениями (38), показана на рис. 5.

Как видно, векторы и образуют с вектором правовинтовую систему. Колебания этих векторов происходят в одинаковой фазе. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света С = 3×10 8 м/с. В веществе фазовая скорость

где r – коэффициент отражения.

Волновая оптика

Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с распространением света, которые можно объяснить, представляя свет как электромагнитную волну.

Основное понятие волновой оптики – световая волна . Под световой волной понимают электрическую составляющую электромагнитной волны, длина волны которой в вакууме l 0 лежит в пределах 400 – 700 нм. Такие волны воспринимает человеческий глаз. Уравнение плоской световой волны можно представить в виде

E = Acos(wt – kx + a 0) , (43)

где А – принятое обозначение амплитуды светового вектора Е, a 0 – начальная фаза (фаза при t = 0, x = 0).

В среде с показателем преломления n фазовая скорость световой волны равна u = c/n, а длина волны l = l 0 /n . (44)

Интенсивность световой волны, как следует из (41), определяется средним значением вектора Пойнтинга I = < S >, и можно показать, что